Этот сайт использует файлы cookies. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация, пожалуйста, посетите страницу Политика файлов Cookie

Прямой эфир

Русский

English

Войти / Регистрация

Cryptocurrencies: 10610 / Markets: 97076

Market Cap: $ 3 301 676 251 839 / 24h Vol: $ 147 555 677 682 / BTC Dominance: 56.821621923489%

Н Новости

[Перевод] KAN 2.0: Kolmogorov-Arnold Networks Meet Science

Предлагаю полный перевод второй статьи на тему нейронных сетей на основе алгоритма Колмогорова-Арнольда (KAN), опубликованной в августе 2024 года. В этой работе исследователи продолжают развивать тему KAN, раскрывают ее связь с наукой, а также приводят некоторые практические советы по использованию библиотеки pykan, написанной на python, в которой реализован алгоритм KAN.
Перевод первой статьи размещен по адресу https://habr.com/ru/articles/856776/.

Аннотация

Основная проблема ИИ + Наука (AI + Science) заключается в их изначальной несовместимости: сегодняшний ИИ в первую очередь основан на коннекционизме, в то время как наука опирается на символизм. Чтобы соединить два мира, мы предлагаем структуру для бесшовной синергии сетей Колмогорова-Арнольда (KAN) и науки. Структура подчеркивает использование KAN для трех аспектов научного открытия: определение соответствующих признаков, выявление модульных структур и открытие символических формул. Синергия двунаправленная: наука к KAN (включение научных знаний в KAN) и KAN к науке (извлечение научных идей из KAN). Мы выделяем основные новые функции в pykan: (1) MultKAN: KAN с узлами умножения. (2) kanpiler: компилятор KAN, который компилирует символические формулы в KAN. (3) преобразователь деревьев: преобразование KAN (или любых нейронных сетей) в древовидные графы. На основе этих инструментов мы демонстрируем способность KAN открывать различные типы физических законов, включая сохраняющиеся величины, лагранжианы, симметрии и конститутивные законы.

Рисунок 1: Синергия науки и сети Колмогорова-Арнольда (KAN)

1 Введение

В последние годы ИИ + Наука стали многообещающей новой областью, что привело к значительным научным достижениям, включая прогнозирование сворачивания белков [37], автоматическое доказательство теорем [95, 83], прогноз погоды [41] и другие. Общей чертой этих задач является то, что все они могут быть хорошо сформулированы в виде проблем с четкими целями, оптимизируемыми системами ИИ-черного ящика. Хотя эта парадигма работает исключительно хорошо для прикладной науки, существует другой вид науки: наука, движимая любопытством. В исследованиях, движимых любопытством, процедура является более исследовательской, часто не имеющей четких целей, кроме «получения большего понимания». Для ясности, наука, движимая любопытством, далеко не бесполезна; совсем наоборот. Научные знания и понимание, полученные посредством любопытства, часто закладывают прочную основу для завтрашних технологий и способствуют широкому спектру приложений.

Хотя и прикладная, и любознательная наука бесценны и незаменимы, они задают разные вопросы. Когда астрономы наблюдают движение небесных тел, прикладные исследователи сосредотачиваются на прогнозировании их будущих состояний, в то время как любознательные исследователи изучают физику, лежащую в основе движения. Другим примером является AlphaFold, которая, несмотря на свой огромный успех в прогнозировании белковых структур, остается в сфере прикладной науки, поскольку она не предоставляет новых знаний на более фундаментальном уровне (например, атомных сил). Гипотетически AlphaFold должен был открыть важную неизвестную физику, чтобы достичь своих высокоточных предсказаний. Однако эта информация остается скрытой от нас, оставляя AlphaFold в значительной степени черным ящиком. Поэтому мы выступаем за новые парадигмы ИИ для поддержки любознательной науки. Эта новая парадигма ИИ + Наука требует более высокой степени интерпретируемости и интерактивности в инструментах ИИ, чтобы их можно было легко интегрировать в научные исследования.

Недавно новый тип нейронной сети, называемый сетью Колмогорова-Арнольда (KAN) [57], показал себя многообещающим для задач, связанных с наукой. В отличие от многослойных персептронов (MLP), которые имеют фиксированные функции активации на узлах, KAN имеют обучаемые функции активации на ребрах. Поскольку KAN могут раскладывать многомерные функции на одномерные функции, интерпретируемость может быть получена путем символической регрессии этих 1D-функций. Однако их определение интерпретируемости несколько узкое, поскольку оно приравнивается почти исключительно к способности извлекать символические формулы. Это ограниченное определение сужает сферу их применения, поскольку символические формулы не всегда необходимы или возможны в науке. Например, если в физике символьные уравнения являются мощным инструментом и широко распространены, то в химии и биологии системы часто слишком сложны, чтобы их можно было представить с помощью таких уравнений. В этих областях модульные структуры и ключевые особенности могут быть достаточными для характеристики интересных аспектов этих систем. Еще одним упущенным из виду аспектом является обратная задача - внедрение знаний в KAN: как мы можем внедрить предварительные знания в KAN в духе обучения на основе физики?

Мы совершенствуем и расширяем KAN, чтобы их было легко использовать в науке, движимой любопытством. Цель этой статьи можно кратко сформулировать следующим образом:

Чтобы быть более конкретным, научные объяснения могут иметь разные уровни, начиная от самых грубых / простых / корреляционных и заканчивая самыми тонкими / сложными / причинно-следственными:
• Важные характеристики: Например, " полностью определяется x_1 и x_2 , в то время как другие факторы не имеют значения". Другими словами, существует функция , такая, что y = f(x_1, x_2) .
• Модульные структуры: например, " x_1 и x_2 независимо друг от друга аддитивно влияют на ". Это означает, что существуют такие функции и , что y = g(x_1) + h(x_2) .
• Символические формулы: Например, " зависит от x_1 как синусоидальная функция и от x_2 как экспоненциальная функция". Другими словами, y = sin(x_1) + exp(x_2) .

В статье рассказывается о том, как включить и извлечь эти свойства из KAN. Структура статьи выглядит следующим образом (показано на рисунке 1): В разделе 2 мы дополняем исходную CAN узлами умножения, представляя новую модель под названием MultKAN. В разделе 3 мы исследуем способы внедрения научных индуктивных методов в KAN, уделяя особое внимание важным функциям (раздел 3.1), модульным структурам (раздел 3.2) и символическим формулам (раздел 3.3).

Рисунок 2: Вверху: сравнение диаграмм KAN и MultKAN. MultKAN имеет дополнительные слои умножения M. Внизу: После обучения на KAN реализует алгоритм, требующий двух узлов сложения, тогда как MultKAN требует только один узел умножения.

Рисунок 2: Вверху: сравнение диаграмм KAN и MultKAN. MultKAN имеет дополнительные слои умножения M. Внизу: После обучения на f(x, y) = xy

KAN реализует алгоритм, требующий двух узлов сложения, тогда как MultKAN требует только один узел умножения.

В разделе 4 мы предлагаем методы извлечения научных знаний из KAN, снова охватывая важные функции (раздел 4.1), модульные структуры (раздел 4.2) и символьные формулы (раздел 4.3). В разделе 5 мы применяем KAN к различным задачам научного поиска, используя инструменты, разработанные в предыдущих разделах. Эти задачи включают в себя обнаружение сохраняющихся величин, симметрий, лагранжианов и определяющих законов. Коды доступны по адресу https://github.com/KindXiaoming/pykan и также могут быть установлены с помощью pip install pykan. Хотя статья называется “KAN 2.0”, выпущенная версия pykan - 0.2.x.

2 MultKAN: Увеличение количества KAN за счет умножения

Теорема о представлении Колмогорова-Арнольда (Kolmogorov-Arnold representation theorem KART) утверждает, что любая непрерывная функция большой размерности может быть разложена на конечную композицию одномерных непрерывных функций и переменной:

Это означает, что сложение является единственной истинной многомерной операцией, в то время как другие многомерные операции (включая умножение) могут быть выражены как операции сложения в сочетании с одномерными функциями. Например, чтобы умножить два положительных числа x и y, мы можем выразить это как xy = exp(logx + logy) *, правая часть которого состоит только из сложения и одномерных функций (log и exp). (*Значения и могут быть отрицательными, поэтому можно использовать большое значение c > 0 и выразить xy = exp(log(x + c) + log(y +c)) − c(x + y) − c^2 . Другие конструкции включают квадратичные функции, такие как xy = ((x + y)^2 − (x − y)^2)/4 или xy = ((x + y)^2 − x^2 − y^2)/2) .
Однако, учитывая распространенность умножений как в науке, так и в повседневной жизни, желательно явно включать умножения в KAN, что потенциально может повысить как интерпретируемость, так и потенциал модели.

Kolmogorov-Arnold Network (KAN) В то время как уравнение KART (1) соответствует двухслойной сети, Лю и др. [57] удалось расширить его на произвольную глубину, признав, что кажущиеся различными внешние функции Φ_q и внутренние функции $ϕ_{q,p}$ могут быть объединены с помощью предложенных ими слоев KAN. Глубину L KANN можно построить, просто наложив L слоев KAN. Форма глубины L KAN представлена целочисленным массивом [n_0, n_1, ··· , n_L] , где n_l обозначает количество нейронов в -м нейронном слое. Слой KAN с входными размерами n_l и выходными размерами $n_{l+1}$ преобразует входной вектор $x_l \in \mathbb{R}^{n_l}$ в $x_{l+1} \in \mathbb{R}^{n_{l+1}}$

и вся сеть представляет собой композицию из L слоев KAN, т.е.,

На диаграммах KAN можно интуитивно представить сеть, состоящую из узлов (суммирование) и ребер (обучаемые активации), как показано на рисунке 2 вверху слева. При обучении на наборе данных, сгенерированном из f(x, y) = xy , KAN (рисунок 2 внизу слева) использует два дополнительных узла, что делает неясным, действия сети. Однако после некоторого размышления мы понимаем, что она использует равенство xy = ((x + y)^2 − (x − y)^2)/4 , но это далеко не очевидно.

Multiplicative Kolmogorov-Arnold Networks (MultKAN) Для явного введения операций умножения мы предлагаем MultKAN, который может более четко выявлять мультипликативные структуры в данных. MultKAN (показан на рисунке 2 вверху справа) похож на KAN, причем оба имеют стандартные слои KAN. Мы называем входные узлы слоя KAN узлами, а выходные узлы слоя KAN подузлами. Разница между KAN и MultKAN заключается в преобразованиях из подузлов текущего слоя в узлы следующего слоя. В KAN узлы напрямую копируются из подузлов предыдущего слоя. В MultKAN некоторые узлы (узлы сложения) копируются из соответствующих подузлов, в то время как другие узлы (узлы умножения) выполняют умножение на k подузлах из предыдущего слоя. Для простоты далее мы установим k = 2 *.
*(Для простоты мы задали k = 2 , но пакет pykan позволяет использовать любое целое число k ≥ 2 . Пользователи даже могут задавать разные значения для разных узлов умножения. Однако если в одном слое используются разные значения , распараллеливание этих умножений может быть затруднено.)

На основе диаграммы MultKAN (рисунок 2 вверху справа) можно интуитивно понять, что MultKAN — это обычный KAN с необязательными вставленными умножениями. Для математической точности мы определяем следующие обозначения: Количество операций сложения (умножения) в слое обозначается как n_l^a ( n_l^m) соответственно. Они собираются в массивы: ширина сложения n^a ≡[n_0^a,n_1^a,⋅⋅⋅n_L ^a] и ширина умножения n^m ≡[n_0^m,n_1^m,⋅⋅⋅n_L ^m] . Когда n_0^m = n_1^m =⋅⋅⋅n_L^m=0 , MultKAN сводится к KAN. Например, на рисунке 2 (вверху справа) показан MultKAN с $\mathbf{n}^a = [2, 2, 1]$ и $\mathbf{n}^m = [0, 2, 0]$ .

Слой MultKAN состоит из стандартного KANLayer $\mathbf{Φ}_l$ и слоя умножения M_l . $\mathbf{Φ}_l$ принимает входной вектор $x_l ∈ \mathbb{R}^{n_l^a+n_l^m}$ и выводит $\mathbf{z}_l=\mathbf{\Phi}_l(x) \in \mathbb{R}^{n_{l+1}^a + 2n_{l+1}^m}$ . Слой умножения состоит из двух частей: часть умножения выполняет умножения пар подузлов, в то время как другая часть выполняет тождественное преобразование. Написанный на Python, M_l преобразует $\mathbf{z}_l$ следующим образом:

где — поэлементное умножение. MultKANLayer можно кратко представить как Ψ_l≡M_l∘ Φ_l . Таким образом весь MultKAN:

Рисунок 3: Добавление вспомогательных переменных к входным данным улучшает интерпретируемость. Для уравнения релятивистской массы , (a) двухслойная KAN необходима, если в качестве входных данных используются только . (b) Если мы добавим и в качестве вспомогательных переменных к KAN, то будет достаточно однослойной KAN (seed 0). (c) seed 1 находит другое решение, которое не является оптимальным и которого можно избежать с помощью проверки гипотез (раздел 4.3).

Рисунок 3: Добавление вспомогательных переменных к входным данным улучшает интерпретируемость. Для уравнения релятивистской массы ${m_0}/{\sqrt{{1-v^2}/c^2}}$ , (a) двухслойная KAN необходима, если в качестве входных данных используются только (m0, v, c)

. (b) Если мы добавим β≡v/c

и $γ ≡1/\sqrt{1-β^2}$ в качестве вспомогательных переменных к KAN, то будет достаточно однослойной KAN (seed 0). (c) seed 1 находит другое решение, которое не является оптимальным и которого можно избежать с помощью проверки гипотез (раздел 4.3).

Поскольку в слоях умножения нет обучаемых параметров, все методы разреженной регуляризации (например, ℓ_1 и энтропийная регуляризация) для KAN [57] могут быть напрямую применены к MultKAN. Для задачи умножения f(x, y) = xy MultKAN действительно учится использовать один узел умножения, что позволяет ему выполнять простое умножение, поскольку все изученные функции активации являются линейными (рисунок 2 внизу справа).
Хотя KAN ранее рассматривались как особый случай MultKAN, мы расширяем определение и рассматриваем «KAN» и «MultKAN» как синонимы. По умолчанию, когда мы ссылаемся на KAN, умножение разрешено. Если мы конкретно ссылаемся на KAN без умножения, мы явно это укажем.

3 Наука в KAN

В науке знание предметной области имеет решающее значение, позволяя нам эффективно работать даже с небольшими или нулевыми данными. Поэтому полезно принять подход, основанный на физике, для KAN: мы должны включить доступные индуктивные предубеждения в KAN, сохраняя их гибкость для открытия новой физики из данных.
Мы исследуем три типа индуктивных предубеждений, которые могут быть интегрированы в KAN. От самых грубых/легких/корреляционных до самых тонких/сложных/причинных – это: важные признаки (раздел 3.1), модульные структуры (раздел 3.2) и символические формулы (раздел 3.3).

3.1 Добавление важных признаков в KAN

В задаче регрессии цель состоит в том, чтобы найти функцию , такую, что y = f(x_1, x_2, · · · , x_n) . Предположим, мы хотим ввести вспомогательную входную переменную a = a(x_1, x_2,···, x_n) , преобразуя функцию в y = f(x_1,···,x_n, a) . Хотя вспомогательная переменная a не добавляет новой информации, она может увеличить выразительную силу нейронной сети. Это связано с тем, что сети не нужно тратить ресурсы на вычисление вспомогательной переменной. Кроме того, вычисления могут стать проще, что приведет к улучшению интерпретируемости. Пользователи могут добавлять вспомогательные функции к входам с помощью метода augment_input:

В качестве примера рассмотрим формулу для релятивистской массы $m(m_0,v,c) = m_0/\sqrt{1 -(v/c)^2}$ , где — масса покоя, — скорость точечной массы, а — скорость света. Поскольку физики часто работают с безразмерными числами β ≡ v/c и $γ ≡ 1/\sqrt{1 - β^2} ≡ 1/\sqrt{1 - (v/c)^2}$ , они могут ввести и наряду с и в качестве входных данных. Рисунок 3 показывает KAN с этими вспомогательными переменными и без них: (a) иллюстрирует KAN, составленный из символической формулы (см. раздел 3.3 для компилятора KAN), которая требует 5 ребер; (b)(c) показывает KAN со вспомогательными переменными, требующими только 2 или 3 ребра и достигающими потерь 10⁻⁶ и 10⁻⁴ соответственно. Обратите внимание, что (b) и (c) отличаются только величиной seed. Seed равный 1 представляет собой неоптимальное решение, поскольку оно также определяет β = v/c как ключевой признак (feature). Это неудивительно, так как в классическом пределе v ≪ c , $γ ≡ 1/\sqrt{1 - (v/c)^2} ≈ 1 + (v/c)^2/2 = 1 + β^2/2$ . Разнообразие, вызванное различными seed, можно рассматривать либо как особенность, либо как ошибку (bug): Как особенность, это разнообразие может помочь найти неоптимальные решения, которые, тем не менее, могут предложить интересные идеи; как ошибка, оно может быть устранено с помощью метода проверки гипотез, предложенного в разделе 4.3.

Рисунок 4: Построение модульных структур для KAN: (a) мультипликативная разделимость; (b) симметрии

3.2 Строительство модульных конструкций для KAN

Модульность распространена в природе: например, кора головного мозга человека разделена на несколько функционально различных модулей, каждый из которых отвечает за определенные задачи, такие как восприятие или принятие решений. Эта модульность упрощает понимание нейронных сетей, поскольку позволяет нам интерпретировать кластеры нейронов совместно, а не анализировать каждый нейрон по отдельности.
Структурная модульность характеризуется кластерами связей, где внутрикластерные связи намного сильнее межкластерных. Чтобы обеспечить модульность, мы вводим модульный метод, который сохраняет внутрикластерные связи, удаляя межкластерные связи. Модули указываются пользователями. Синтаксис:

Например, если пользователь хочет назначить модулю определенные узлы/подузлы - скажем, 0-й узел в слой 1, 1-й и 3-й подузлы в слой 1, 1-й и 3-й узлы в слой 2 - он может использовать module(1, '[0] -> [1,3] -> [1,3]'). Если говорить конкретно, то существует два типа модульности: разделимость и симметрия.

Разделимость Мы говорим, что функция считается разделимой, если ее можно выразить как сумму или произведение функций непересекающихся групп переменных. Например, функция четырех переменных f(x_1, x_2, x_3, x_4) является максимально мультипликативно разделимой, если она имеет вид f_1(x_1)f_2(x_2)f_3(x_3)f_4(x_4) , создавая четыре различные группы (1), (2), (3), (4). Пользователи могут создавать эти модули, вызывая метод module четыре раза: module(0, '[ i ]->[ i ]'), = 0, 1, 2, 3, как показано на рисунке 4 (а). Последний вызов можно пропустить, так как первых трех достаточно для определения групп. Более слабые формы мультипликативной разделимости могут быть f_1 (x_1, x_2)f_2 (x_3,x_4) (вызов module(0, '[ 0,1 ]->[ 0,1 ]' )) или f_1 (x_1)f_2 (x_2,x_3,x_4) (вызов module(0, '[ 0 ]->[ 0 ]' )).

Обобщенная симметрия Мы говорим, что функция симметрична относительно переменных (x_1,x_2) , если f(x_1, x_2,x_3,· · · ) = g(h(x_1, x_2),x_3,· · · ) . Это свойство называется симметрией, поскольку значение остается неизменным до тех пор, пока h(x_1,x_2) остается постоянным, даже если x_1 и x_2 изменяются. Например, функция является вращательно-инвариантной в 2D, если f(x_1,x_2) = g(r) где $r ≡ \sqrt{x_1^2 + x_2^2}$ . Когда симметрия затрагивает только подмножество переменных, ее можно считать иерархической, поскольку x_1 и x_2 сначала взаимодействуют через (2-слойный KAN), а затем взаимодействует с другими переменными через (2-слойный KAN). Предположим, что функция с четырьмя переменными имеет иерархическую форму f(x_1,x_2,x_3,x_4) = h(f(x_1,x_2),g(x_3,x_4)) ,

Рисунок 5: Компилятор KAN (kanpiler) преобразует символьные выражения в KAN. (a) Как работает kanpiler: символьная формула сначала разбирается на дерево выражений, которое затем преобразуется в KAN. (b) Применение KAN к 10 уравнениям (выбранным из набора данных Фейнмана). (c) Расширение скомпилированного KAN для увеличения его выразительной мощности.

как показано на рисунке 4 (b). Мы можем использовать метод module для создания этой структуры, вызвав module(0, '[ 0,1 ] -> [ 0,1 ] -> [ 0,1 ] -> [ 0 ]'), гарантируя, что группы переменных (x_1,x_2) и (x_3,x_4) не будут взаимодействовать в первых двух слоях.

3.3 Составление символических формул в KAN

Ученые часто находят удовлетворение в представлении сложных явлений посредством символических уравнений. Однако, хотя эти уравнения и лаконичны, им может не хватать выразительной силы, необходимой для охвата всех нюансов из-за их специфических функциональных форм. Напротив, нейронные сети очень выразительны, но могут неэффективно тратить время обучения и данные на изучение знаний предметной области, уже известных ученым. Чтобы использовать сильные стороны обоих подходов, мы предлагаем двухэтапную процедуру:
(1) компилировать символические уравнения в KAN и
(2) настраивать эти KAN с использованием данных.
Первый шаг направлен на внедрение известных знаний предметной области в KAN, в то время как второй шаг фокусируется на изучении новой «физики» из данных.

kanpiler (KAN compiler) Цель kanpiler — преобразовать символическую формулу в KAN. Процесс, показанный на рисунке 5 (a), включает три основных шага: (1) Символическая формула разбирается на древовидную структуру, где узлы представляют выражения, а ребра обозначают операции/функции. (2) Затем это дерево модифицируется для приведения в соответствие со структурой графа KAN. Изменения включают перемещение всех листовых узлов на входной слой через фиктивные ребра и добавление фиктивных подузлов/узлов для соответствия архитектуре KAN. Эти фиктивные ребра/узлы/подузлы выполняют только тождественное преобразование. (3) Переменные объединяются в первом слое, эффективно преобразуя дерево в граф. Для наглядности на ребрах размещены одномерные кривые для представления функций. Мы протестировали kanpiler на наборе данных Фейнмана, и он успешно обрабатывает все 120 уравнений. Примеры показаны на рисунке 5 (b). Kanpiler принимает входные переменные (как символы sympy) и выходное выражение (как выражение sympy) и возвращает модель KAN.

Обратите внимание, что возвращаемая модель KAN находится в символическом режиме, т.е. символические функции точно закодированы. Если вместо этого мы используем кубические сплайны для аппроксимации этих символических функций, мы получим потери MSE $ℓ ∝ N^{−8}$ [57], где N — число интервалов сетки (пропорционально числу параметров модели).
Расширение ширины/глубины для увеличения выразительной мощности Сеть KAN, сгенерированная kanpiler, компактна, без избыточных ребер, которые могут ограничить ее выразительную мощность и помешать дальнейшей тонкой настройке. Для решения этой проблемы мы предлагаем методы expand_width и expand_depth для расширения сети, чтобы она стала шире и глубже, как показано на рисунке 5 (c). Методы расширения изначально добавляют нулевые функции активации, которые страдают от нулевых градиентов во время обучения. Поэтому метод возмущения следует использовать для возмущения этих нулевых функций до ненулевых значений, что делает их обучаемыми с ненулевыми градиентами.

4 KAN в науку

Сегодняшние черные ящики глубоких нейронных сетей являются мощными, но интерпретация этих моделей остается сложной задачей. Ученые ищут не только высокопроизводительные модели, но и возможность извлекать значимые знания из моделей. В этом разделе мы сосредоточимся на повышении интерпретируемости научных целей KAN. Мы рассмотрим три уровня извлечения знаний из KAN, от самых базовых до самых сложных: важные признаки (раздел 4.1), модульные структуры (раздел 4.2) и символические формулы (раздел 4.3).

4.1 Определение важности переменных KAN

Определение важности переменных имеет решающее значение для многих задач. Учитывая регрессионную модель , где y ≈ f(x_1 ,x_2 ,...,x_n) , мы стремимся назначить баллы (scores) входным переменным для оценки их важности. Лю и др. [57] использовали функцию L1 norm для указания важности ребер, но эта метрика может быть проблематичной, поскольку она учитывает только локальную информацию.

Чтобы решить эту проблему, мы вводим более эффективную оценку атрибуции, которая лучше отражает важность переменных, чем норма L1. Для простоты предположим, что есть узлы умножения, поэтому нам не нужно различать узлы и подузлы* (*для подузлов, принадлежащих узлу умножения, подузлы наследуют свои оценки от узла умножения). Предположим, что у нас есть L-слой KAN с шириной [n_0, n_1, · · · , n_L] . Мы определяем $E_{l,i,j}$ как стандартное отклонение активаций на ребре (l, i, j) , а $N_{l,i}$ как стандартное отклонение активаций на узле (l, i) . Затем мы определяем оценку узла (атрибуции) $A_{l,i}$ и оценку ребра (атрибуции) $B_{l,i,j}$ . В [57] мы просто определили $B_{l,i,j} = E_{l,i,j}$ и $A_{l,i} = N_{l,i}$ . Однако это определение не учитывает более поздние сегменты сети; даже если узел или ребро имеет бо́льшую норму, они могут не вносить вклад в выход, если остальная часть сети фактически является нулевой функцией. Поэтому теперь мы вычисляем оценки узлов и ребер итеративно от выходного слоя до входного слоя. Мы устанавливаем все выходные измерения так, чтобы они имели единичные оценки, т. е. $A_{L,i} = 1$ , i = 0, 1, · · · , n_L – 1 * , и вычисляем оценки следующим образом:
(*другие варианты могут быть сделаны на основе воспринимаемой важности каждого выходного измерения, хотя это менее критично, когда выходные данные, как правило, одномерны)

Рисунок 6: Определение важных признаков в KAN. (a) сравнение оценки атрибуции с нормой L1, используемой в работе Лю и др. [57]. В двух синтетических задачах оценка атрибуции дает больше информации, чем норма L1. (b) Оценки атрибуции можно вычислить для входных данных и использовать для обрезки входных данных.

Сравнение $E_{l,i,j}$ и $B_{l,i,j}$ Мы обнаружили, что $B_{l,i,j}$ обеспечивает более точное отражение важности ребер. На рисунке 6 мы сравниваем KAN, обученные на двух уравнениях y = exp(sin(πx_1) + x_2^2) и y= (x_1^2 + x_2^2)^2 + (x_3^2+ x_4^2)^2 , и визуализируем KAN с оценками важности (L1 norm) или (оценка атрибуции). Для первого уравнения оценки атрибуции показывают более чистый график, чем нормы L1, так как многие активные ребра в первом слое не вносят вклад в конечный результат из-за неактивных последующих ребер. Оценка атрибуции учитывает это, что приводит к более осмысленному графику. Для второго уравнения y= (x_1^2 + x_2^2)^2 + (x_3^2+ x_4^2)^2 , мы можем сказать исходя из её символического вида, что все четыре переменные одинаково важны. Оценки атрибуции правильно отражают равную важность всех четырех переменных, тогда как норма L1 неверно предполагает, что x_3 и x_4 важнее, чем x_1 и x_2 .
Отсечение входных данных на основе оценок атрибуции В реальных наборах данных размерность входных данных может быть большой, но только несколько переменных могут быть релевантными. Чтобы решить эту проблему, мы предлагаем отсечение нерелевантных признаков на основе оценок атрибуции, чтобы мы могли сосредоточиться на наиболее релевантных. Пользователи могут применить prune_input, чтобы сохранить только наиболее релевантные переменные. Например, если есть 100 входных признаков, упорядоченных по убыванию релевантности в функции $y =∑_{i=0}^{99} {x_i^2/2^i}$ , x_i ∈ [-1,1] , и после обучения только первые пять признаков показывают значительно более высокие оценки атрибуции, метод prune_input сохранит только эти пять признаков. Отсеченная сеть становится компактной и интерпретируемой, тогда как исходная KAN со 100 входными данными слишком плотна для прямой интерпретации.

4.2 Определение модульных структур из KAN

Хотя оценка атрибуции дает ценную информацию о том, какие ребра или узлы важны, она не раскрывает модульные структуры, т. е. как связаны важные ребра и узлы. В этой части мы стремимся раскрыть модульные структуры из обученных KAN и MLP, исследуя два типа модульности: анатомическую модульность и функциональную модульность.

Рисунок 7: Индуцирование анатомической модульности в нейронных сетях посредством обмена нейронами. Подход включает назначение пространственных координат нейронам и их перестановку для минимизации общей стоимости соединения. Для двух задач (слева: многозадачный паритет, справа: иерархическое голосование большинства) обмен нейронами работает для KAN (вверху) в обоих случаях и работает для MLP (внизу) для многозадачного паритета.

4.2.1 Анатомическая модульность

Анатомическая модульность относится к тенденции нейронов, расположенных близко друг к другу в пространстве, иметь более сильные связи, чем те, которые находятся дальше друг от друга. Хотя искусственные нейронные сети не имеют физических пространственных координат, было показано, что введение концепции физического пространства улучшает интерпретируемость [51, 52]. Мы принимаем метод обмена нейронами из [51, 52], который сокращает связи, сохраняя при этом функциональность сети. Мы называем этот метод auto_swap. Анатомическая модульная структура, выявленная путем обмена нейронами, облегчает идентификацию модулей, даже визуально, для двух задач, показанных на рисунке 7: (1) многозадачный разреженный паритет; и (2) иерархическое голосование большинства. Для многозадачной разреженной четности у нас есть 10 входных бит $x_i ∈ \{0, 1\}, i = 1, 2, ···, 10$ , и выход $y_j = x_{2j−1} ⊕ x_{2j}, j = 1,···, 5$ , где обозначает сложение по модулю 2. Задача демонстрирует модульность, поскольку каждый выход зависит только от подмножества входов. Функция auto_swap успешно идентифицирует модули как для KAN, так и для MLP, при этом KAN обнаруживает более простые модули. Для иерархического голосования большинством с 9 входными битами $x_i ∈ \{0, 1\}$ , i=1,···,9 и выходом y = maj(maj(x_1,x_2,x_3),maj(x_4,x_5,x_6),maj(x_7,x_8,x_9)) , где maj обозначает голосование большинством (выход 1, если два или три входа равны 1, в противном случае 0). KAN раскрывает модульную структуру даже до auto_swap, и диаграмма становится более организованной после auto_swap. MLP показывает некоторую модульную структуру из шаблона весов первого слоя, указывая на взаимодействия между переменными, но глобальная модульная структура остается неясной независимо от auto_swap.

4.2.2 Функциональная модульность

Функциональная модульность относится к общей функции, представленной нейронной сетью. Учитывая сеть Oracle, где внутренние детали, такие как веса и активации скрытых слоев, недоступны (слишком сложны для анализа), мы все равно можем собирать информацию о функциональной модульности посредством прямых и обратных проходов на входах и выходах. Мы определяем три типа функциональной модульности (см. Рисунок 8 (a)), основываясь в основном на [84].

Разделимость: Функция f аддитивно разделима, если

Обратите внимание, что $\frac{∂^2 f}{∂x_i ∂x_j }=0$ , когда 1≤i≤k , k+ 1 ≤ j≤ n .

Чтобы обнаружить разделимость, мы можем вычислить матрицу Гессиан

$\mathbf{H} ≡ ∇^T ∇f \left(\mathbf{H}_{ij} = \frac{∂^2 f}{∂x_i ∂x_j}\right)$ и проверить блочную структуру.

Рисунок 8: Обнаружение функциональной модульности в KAN. (a) Мы изучаем три типа функциональной модульности: разделимость (аддитивная или мультипликативная), общая разделимость и симметрия. (b) Применение этих тестов рекурсивно преобразует функцию в дерево. Здесь функция может быть символической функцией (вверху), KAN (в середине) или MLP (внизу). Как KAN, так и MLP создают правильные графы деревьев в конце обучения, но показывают различную динамику обучения.

Если $\mathbf{H}_{ij}=0$ для всех 1≤i≤k и k+1≤j≤n , то мы знаем, что аддитивно разделима. Для мультипликативной разделимости мы можем преобразовать ее в аддитивную разделимость, взяв логарифм:

Для обнаружения мультипликативной разделимости мы определяем $\mathbf{H}_{ij} ≡ \frac{∂^2 log|f|}{∂x_i ∂x_j}$ и

проверяем блочную структуру. Пользователи могут вызвать test_separability для проверки общей разделимости.

Обобщенная разделимость: Функция f имеет обобщенную разделимость, если

Для обнаружения обобщенной отделимости мы вычисляем

где мы использовали $\frac{∂F}{∂g} = \frac{∂F}{∂h}$ . Обратите внимание, что $\frac{{∂f}/{∂x_i}}{∂f/∂x_j}$ является

мультипликативно разделимым, это может быть обнаружено с помощью теста на разделимость, предложенного выше. Пользователи могут вызвать test_general_separability для проверки на аддитивную или мультипликативную разделимость.

Обобщенная симметрия: Функция имеет обобщенную симметрию (по первым k переменным), если

Обозначим $\mathbf{y} = (x_1,· · · ,x_k)$ и $\mathbf{z} = (x_{k+1},· · · ,x_n)$ . Это свойство называется обобщенной симметрией, поскольку сохраняет одно и то же значение до тех пор, пока остается постоянным, независимо от индивидуальных значений x_1,· · · ,x_k . Вычислим градиент f относительно : $∇_y f = \frac{∂g}{∂h} ∇_y h$ . Поскольку $\frac{∂g}{∂h}$ является скалярной функцией, она не

меняет направление ∇_y h . Таким образом, направление $\widehat{{∇_y f}} ≡ \frac{∇_y f}{|∇_y f|}$ не зависит от $\mathbf{z}$ , т. е.

что является условием симметрии. Пользователи могут вызвать метод test_symmetry для проверки симметрии.

Древовидный преобразователь Три типа функциональной модульности образуют иерархию: симметрия является наиболее общей, общая разделимость является промежуточной, а разделимость является наиболее специфической. Математически,

Чтобы получить максимальную иерархию модульных структур, мы применяем обобщенное обнаружение симметрии рекурсивно, формируя группы всего с k = 2 переменными и расширяя их до всех k = n переменных. Например, рассмотрим функцию с 8 переменными

которая имеет четыре обобщенные симметрии k = 2 , включающие группы (x_1,x_2),(x_3,x_4),(x_5,x_6),(x_7,x_8) ; две обобщенные симметрии k = 2 , включающие группы (x_1,x_2,x_3,x_4) и (x_5,x_6,x_7,x_8) . Таким образом, каждая группа k = 4 содержит две группы k = 2 , демонстрируя иерархию. Для каждой обобщенной симметрии мы также можем проверить, является ли обобщенная симметрия далее обобщенно разделимой или разделимой. Пользователи могут использовать метод plot_tree для получения графа дерева для функции (функцией могут быть любые выражения Python, нейронные сети и т. д.). Для модели нейронной сети пользователи могут просто вызвать model.tree(). Граф дерева может иметь стиль «дерево» (по умолчанию) или «ящик» («box»).

Примеры На рисунке 8 (b) приведены два примера. Когда точные символьные функции вводятся в plot_tree, получаются графы истинного дерева. Нас особенно интересует, работает ли преобразователь деревьев для нейронных сетей. Для этих простых случаев и KAN, и MLP могут найти правильный граф, если они достаточно обучены. На рисунке 8 (b) (внизу) показана эволюция графов деревьев во время обучения KAN и MLP. Особенно интересно наблюдать, как нейронные сети постепенно усваивают правильную модульную структуру. В первом случае f(x_1,x_2,x_3,x_4) = (x_1^2 + x_2^2)^2 + (x_3^2 + x_4^2)^2 , и KAN, и MLP постепенно приобретают больше индуктивных смещений (их промежуточные состояния различны), пока не достигнут правильной структуры.

Рисунок 9: Три приема для упрощения символической регрессии. Прием A (верхний ряд): обнаружение и использование модульных структур. Прием B (средний ряд): инициализация разреженных соединений. Прием C (нижний ряд): проверка гипотез.

Во втором случае, $f(x_1,x_2,x_3) = sin(x_1)/\sqrt{x_2^2 + x_3^2}$ , обе модели изначально обнаруживают мультипликативную разделимость для всех трех переменных, показывая даже более высокую симметрию, чем правильная структура. После обучения обе модели «понимают», что: для лучшего соответствия данным (потери становятся ниже), такая высокосимметричная структура больше не может быть выполнена и должна быть ослаблена до менее строгой структуры. Дополнительное наблюдение заключается в том, что KAN имеет промежуточную структуру, не найденную в MLP. Есть два предостережения, которые мы хотели бы упомянуть: (1) результаты могут зависеть от начального значения и/или порога. (2) все тесты полагаются на производные второго порядка, которые могут быть ненадежными из-за того, что модель обучается только на информации нулевого порядка. Состязательные конструкции, такие как $f_ϵ (x) = f(x)+ϵsin \left( \frac xϵ\right)$ могут привести к проблемам, потому что хотя |f_ϵ (x)-f(x)| → 0 при ϵ → 0, |f_ϵ^" (x) - f^"(x)| → ∞ при . Хотя такие крайние случаи маловероятны на практике, гладкость необходима для обеспечения успешности наших методов.

4.3 Определение символических формул из KAN

Символические формулы являются наиболее информативными, поскольку они четко раскрывают как важные характеристики, так и модульные структуры, как только они становятся известны. В работе Лю и др. [57] авторы показали ряд примеров, из которых они могут извлекать символические формулы, имея при необходимости некоторые предварительные знания. С помощью новых инструментов, предложенных выше (важность характеристик, модульные структуры и символические формулы), пользователи могут использовать эти новые инструменты для легкого взаимодействия и совместной работы с KAN, что упрощает символическую регрессию. Ниже мы представляем три приема, проиллюстрированные на рисунке 9.

Прием A: обнаружить и использовать модульные структуры Сначала мы можем обучить общую сеть и исследовать ее модульность. После того, как модульная структура идентифицирована, мы инициализируем новую модель с этой модульной структурой в качестве индуктивных смещений. Например, рассмотрим функцию f(q,v,B,m) = qvB/m Сначала мы инициализируем большую KAN (предположительно достаточно выразительную), чтобы подогнать набор данных с разумной точностью. После обучения из обученной KAN извлекается древовидный граф (ссылка на раздел 4.2), который показывает мультипликативную разделимость. Затем мы можем построить модульную структуру во второй KAN (ссылка на раздел 3.2), обучить ее, а затем символизировать все одномерные функции, чтобы вывести формулу.

Прием B: разреженная инициализация Символические формулы обычно соответствуют KAN с разреженными связями (см. Рисунок 5 (b)), поэтому разреженная инициализация KAN лучше согласует их с индуктивными смещениями символических формул. В противном случае, плотно инициализированные KAN требуют тщательной регуляризации для обеспечения разреженности. Разреженная инициализация может быть достигнута путем передачи аргумента «sparse_init=True» инициализатору KAN. Например, для функции f(q,E,v,B,θ) = q(E + vBsinθ) разреженно инициализированная KAN очень похожа на окончательно обученную KAN, требуя лишь незначительных корректировок в обучении. В отличие от этого, плотная инициализация потребует длительного обучения для удаления ненужных ребер.

Прием C: Проверка гипотезы Когда мы сталкиваемся с несколькими разумными гипотезами, мы можем попробовать их все (ветвясь в «параллельные вселенные»), чтобы проверить, какая гипотеза является наиболее точной и/или самой простой. Чтобы облегчить проверку гипотез, мы создаем систему контрольных точек, которая автоматически сохраняет версии модели всякий раз, когда вносятся изменения (например, обучение, обрезка). Например, рассмотрим функцию $f(m_0,v,c) = m_0/ \sqrt{1 - (v/c)^2}$ . Начнем со случайно инициализированного KAN, имеющего версию 0.0. После обучения он эволюционирует до версии 0.1, где активируется как при β = v/c , так и при $γ = 1/ \sqrt{1 - (v/c)^2}$ . Выдвигаем гипотезу, что могут понадобиться только или . Сначала мы устанавливаем ребро на ноль и обучаем модель, получая $6,5×10^{−4}$ тестового RMSE (версия 0.2). Чтобы проверить альтернативную гипотезу, мы хотим вернуться к точке ветвления (версия 0.1) для чего вызываем model.rewind( '0.1' ), которая возвращает модель обратно к версии 0.1. Чтобы указать, что вызвана перемотка, версия 0.1 переименовывается в версию 1.1. Теперь мы устанавливаем ребро равным нулю, обучаем модель, получая $2.0×10^{−6}$ тестового RMSE (версия становится 1.2). Сравнение версий 0.2 и 1.2 показывает, что вторая гипотеза лучше из-за меньших потерь при одинаковой сложности (обе гипотезы имеют два ненулевых ребра).

5 Применение

Предыдущие разделы в основном были сосредоточены на проблемах регрессии в педагогических целях. В этом разделе мы применяем KAN для обнаружения физических концепций, таких как сохраняющиеся величины, лагранжианы, скрытые симметрии и конститутивные законы. Эти примеры иллюстрируют, как инструменты, предложенные в этой статье, могут быть эффективно интегрированы в реальные научные исследования для решения этих сложных задач.

5.1 Открытие сохраняющихся величин

Рисунок 10: Использование KAN для обнаружения сохраняющихся величин для двумерного гармонического осциллятора.

Сохраняющиеся величины — это физические величины, которые остаются постоянными с течением времени. Например, свободно падающий мяч преобразует свою гравитационную потенциальную энергию в кинетическую энергию, в то время как полная энергия (сумма обеих форм энергии) остается постоянной (при условии пренебрежимо малого сопротивления воздуха). Сохраняющиеся величины имеют решающее значение, поскольку они часто соответствуют симметриям в физических системах и могут упростить вычисления за счет уменьшения размерности системы. Традиционно вывод сохраняющихся величин с помощью бумаги и карандаша может быть трудоемким и требует обширных знаний предметной области. Недавно были исследованы методы машинного обучения для обнаружения сохраняющихся величин [55, 53, 54, 58, 32, 89]. Мы следуем подходу Лю и др. [53], определивших дифференциальное уравнение, которому должны удовлетворять сохраняющиеся величины, тем самым преобразуя проблему поиска сохраняющихся величин в решение дифференциальных уравнений. Они использовали многослойные персептроны (MLP) для параметризации сохраняющихся величин. Мы в основном следуем их процедуре, но заменяем MLP на KAN. Конкретнее, они рассматривают динамическую систему с переменной состояния $\mathbf{z} ∈ \mathbb{R}^d$ , управляемую уравнением $\frac{d \mathbf{z}}{dt} = \mathbf{f}(\mathbf{z})$ . Необходимым и достаточным условием для того, чтобы функция $H(\mathbf{z})$ была сохраняющейся величиной, является выполнение условия $\mathbf{f}(\mathbf{z}) · ∇H(\mathbf{z}) = 0$ для всех $\mathbf{z}$ . Например, в одномерном гармоническом осцилляторе фазовое пространство характеризуется положением и импульсом, $\mathbf{z} = (x,p)$ , а уравнение эволюции имеет вид d(x,p)/dt = (p,-x) . Энергия $H= \frac12 (x^2 + p^2)$ является сохраняющейся величиной, поскольку

$\mathbf{f}(\mathbf{z})·∇H(\mathbf{z}) = (p,-x)·(x,p)=0$ . Мы параметризуем с помощью KAN и обучаем его, используя функции потерь $\ell = ∑_{i=1}^N|\mathbf{f}(\mathbf{z}^{(i)} )· \hat{∇}H{(\mathbf{z}^{\left(i\right)})}|^2$ где $\hat{∇}$ — нормализованный градиент, а $\mathbf{z}^{(i)}$ — i-я точка данных, равномерно взятая из гиперкуба [-1,1]^d .
Мы выбираем 2D гармонический осциллятор для тестирования KAN, характеризующийся (x,y,p_x,p_y) . Он имеет три сохраняющиеся величины: (1) энергия

вдоль направления : $H_1 = \frac12 (x^2 + p_x^2)$ ; (2) энергия вдоль направления :

$H_2 =\frac12 (y^2+p_y^2)$ ; (3) угловой момент H_3 = xp_y-yp_x . Мы обучаем [4, [0, 2], 1] KAN с

тремя различными случайными начальными числами, как показано на рисунке 10, которые соответствуют H1, H2 и H3 соответственно.

5.2 Открытие лагранжианов

Рисунок 11: Использование KAN для изучения лагранжианов для одиночного маятника (вверху) и релятивистской массы в однородном поле (внизу).

В физике механика Лагранжа — это формулировка классической механики, основанная на принципе стационарного действия. Она описывает механическую систему с использованием фазового пространства и гладкой функции L, известной как лагранжиан. Для многих систем $\mathcal{L}= T - V$ , где и представляют собой кинетическую и потенциальную энергию системы соответственно. Фазовое пространство обычно описывается как $(\mathbf{\text{q}},\mathbf{\dot{\text{q}}})$ , где $\mathbf{\text{q}}$ и $\mathbf{\dot{\text{q}}}$ обозначают координаты и скорости соответственно. Уравнение движения может быть

выведено из лагранжиана через уравнение Эйлера-Лагранжа: $\frac d{dt}\left(\frac{∂\mathcal{L}}{∂\mathbf{\dot{q}}}\right) = \frac{∂\mathcal{L}}{∂\mathbf{q}}$ , или эквивалентно

Учитывая фундаментальную роль лагранжиана, интересным вопросом является то, можем ли мы вывести лагранжиан из данных. Следуя [19], мы обучаем лагранжеву нейронную сеть предсказывать $\mathbf{\ddot{q}}$ из $(\mathbf{\text{q}},\mathbf{\dot{\text{q}}})$ . LNN использует MLP для параметризации $\mathcal{L} (\mathbf{\text{q}},\mathbf{\dot{\text{q}}})$ и вычисляет уравнение (18) для предсказания мгновенных ускорений $\mathbf{\ddot{q}}$ . Однако LNN сталкиваются с двумя основными проблемами: (1) Обучение LNN может быть нестабильным из-за производных второго порядка и инверсии матрицы в уравнении (18). (2) LNN не обладают интерпретируемостью, поскольку сами MLP нелегко интерпретировать. Мы решаем эти проблемы с помощью KAN.
Чтобы решить первую задачу, отметим, что матричное обращение гессиана $(\nabla_{\dot{q}} \nabla_{\dot{q}}^T \mathcal{L})^{-1}$ становится проблематичным, когда гессиан имеет собственные значения, близкие к нулю. Чтобы смягчить это, мы инициализируем $(\nabla_{\dot{q}} \nabla_{\dot{q}}^T \mathcal{L})$ как положительно определенную матрицу (или положительное число в 1D). Поскольку $(\nabla_{\dot{q}} \nabla_{\dot{q}}^T \mathcal{L})$ — это масса в классической механике, а кинетическая энергия обычно равна $T=\frac12m\mathbf{\dot{q}}^2$ , кодирование этих априорных знаний в KAN проще, чем в MLP (с использованием kanpiler, представленного в разделе 3.3). Kanpiler может преобразовать символическую формулу T в KAN (как показано на рисунке 11). Мы используем эту преобразованную KAN для инициализации и продолжаем обучение, что приводит к гораздо большей стабильности по сравнению со случайной инициализацией. После обучения символическая регрессия может быть применена к каждому ребру для извлечения символических формул, решая вторую задачу.
Мы показываем два 1D примера на рисунке 11, одиночный маятник и релятивистская масса в однородном поле. Скомпилированные KAN показаны слева, с ребрами на $\dot{q}$ , отображающими квадратичные функции, и ребрами на как нулевые функции.

Одиночный маятник Часть $\dot{q}$ остается квадратичной функцией $T(\dot{q}) = \frac12\dot{q}^2$ , в то время

как часть учится быть функцией косинуса, так как V(q)=1-cos(q) . На рисунке 11 вверху результаты suggest_symbolic отображают пять функций, которые лучше всего соответствуют сплайнам, учитывая как пригодность, так и простоту. Как и ожидалось, косинус и квадратичная функция появляются в верхней части списков.

Релятивистская масса в однородном поле После обучения кинетическая энергия отклоняется от $T = ½ \dot{q}^2$ , поскольку для релятивистской частицы $T_r=(1 - \dot{q}^2)^{-1/2}-1$ . На рисунке 11 (внизу) символическая регрессия успешно находит V(q) = q , но не может идентифицировать T_r из-за своей композиционной природы, поскольку наша символическая регрессия ищет только простые функции. Предполагая, что первая композиция функций является квадратичной, мы создаем еще один [1, 1, 1] KAN для соответствия T_r и устанавливаем первую функцию как квадратичную функцию с помощью fix_symbolic и обучаем только вторую функцию. После обучения мы видим, что истина $x^{−1/2}$ появляется среди пяти лучших кандидатов. Однако $x^{1/2}$ немного лучше подходит для сплайна, на что указывает более высокое значение R-квадрата. Это говорит о том, что символическая регрессия чувствительна к шуму (из-за несовершенного обучения), и априорные знания имеют решающее значение для правильного суждения. Например, знание того, что кинетическая энергия должна стремиться к бесконечности по мере приближения скорости к скорости света, помогает подтвердить, что $x^{−1/2}$ является правильным членом, поскольку $x^{1/2}$ не демонстрирует ожидаемого стремления к бесконечности.

5.3 Обнаружение скрытой симметрии

Рисунок 12: Повторное открытие скрытой симметрии черной дыры Шварцшильда с помощью MLP и KAN. (a) ∆t(r), изученный MLP, является глобально гладким решением; (b) ∆t(r), изученный KAN, является решением "доменной стенки"; (c) KAN показывает всплеск потерь на "доменной стенке"; (d) KAN можно использовать для точной настройки решения MLP, близкой к машинной точности.

Филип Андерсон утверждал, что «было бы лишь небольшим преувеличением сказать, что физика — это изучение симметрии», подчеркивая, насколько открытие симметрии было бесценным как для углубления нашего понимания, так и для более эффективного решения проблем.
Однако симметрии иногда не проявляются, а скрываются, только проявляясь путем применения некоторого преобразования координат. Например, после того, как Шварцшильд открыл свою одноименную метрику черной дыры, Painlevé, Gullstrand и Lemaître потребовалось 17 лет, чтобы раскрыть ее скрытую трансляционную симметрию. Они продемонстрировали, что пространственные сечения можно сделать трансляционно инвариантными с помощью умного преобразования координат, тем самым углубив наше понимание черных дыр [65]. Лю и Тегмарк [56] показали, что преобразование Gullstrand-Painlevé можно обнаружить, обучив MLP за считанные минуты. Однако они не получили чрезвычайно высокой точности (т.е. машинной точности) для решения. Мы пытаемся вернуться к этой проблеме с помощью KAN.
Предположим, что в пространстве-времени (t,x,y,z) имеется черная дыра Шварцшильда с массой 2M = 1 , центром в точке x = y = z = 0 и радиусом r_s=2M=1 . Метрика Шварцшильда описывает, как искажаются пространство и время вокруг нее:

Применяя преобразование Gullstrand-Painlevé $t'=t+2M\left(2u+ln⁡\left(\frac{u-1}{u+1}\right) \right)$ ,

$u ≡ \sqrt{\frac{r}{2M}}$ , x'=x, y'=y, z'=z , метрика в новых координатах становится:

которая демонстрирует трансляционную инвариантность в пространственном сечении (нижний правый блок 3×3 представляет собой евклидову метрику). Лю и Тегмарк [56] использовали многослойный перцептрон для обучения отображению из (t,x,y,z) в

(t',x',y',z') . Определяя матрицу Якоби $\mathbf{J}≡\frac{∂(t', x', y', z')}{∂(t,x,y,z)}$ , $\mathbf{\text{g}}$ преобразуется в

$\mathbf{g}'= \mathbf{J}^{-T}\mathbf{g}\mathbf{J}^{-1}$ . Мы берем нижний правый блок 3×3 $\mathbf{\text{g}}'$ ′ и берем его разность с евклидовой метрикой, чтобы получить потерю MSE. Потери минимизируются путем выполнения градиентных спусков на MLP. Чтобы упростить задачу, они предполагают знание x'=x, y'=y, z'=z и используют только MLP (1 вход и 1 выход) для прогнозирования

временной разницы $∆t(r)=t'-t=2M\left(2u+ln⁡\left(\frac{u-1}{u+1}\right) \right)$ , $u≡\sqrt{\frac{r}{2M}}$ из радиуса .
MLP и KAN находят разные решения Мы обучили как MLP, так и KAN минимизировать эту функцию потерь, и результаты показаны на рисунке 12. Поскольку задача имеет 1 входное измерение и 1 выходное измерение, KAN эффективно сводится к сплайну. Изначально мы ожидали, что KAN превзойдут MLP, поскольку сплайны, как известно, превосходят MLP в низкоразмерных условиях [63]. Однако, в то время как MLP может достичь $10^{−8}$ потерь, KAN застревает на $10^{−3}$ потерях, несмотря на уточнения сетки. Оказалось, что KAN и MLP узнали два разных решения: в то время как MLP нашел глобально гладкое решение (рисунок 12 (a)), KAN узнал решение доменной стенки (рисунок 12 (b)). Решение доменной стенки имеет особую точку, которая разделяет всю кривую на два сегмента. Левый сегмент правильно изучает ∆t(r) , в то время как правый сегмент изучает −∆t(r) , что также является допустимым решением, но отличается от левого сегмента знаком минус. В особой точке появляется пик потерь (рисунок 12 (c)). Можно считать это особенностью KAN, поскольку решения с доменными стенками распространены в природе. Однако, если считать это недостатком, KAN все еще могут получать глобально гладкие решения, добавляя регуляризации (для уменьшения колебаний сплайна) или экспериментируя с различными случайными начальными числами (примерно 1 из 3 случайных начальных чисел находит глобально гладкие решения).
KAN могут достигать чрезвычайной точности Хотя MLP находит глобально гладкое решение и достигает потерь $10^{−8}$ , потери все еще далеки от машинной точности. Мы обнаружили, что ни более длительное обучение, ни увеличение размера MLP не привели к значительному уменьшению потерь. Поэтому мы обратились к KAN, которые, как сплайны в 1D, могут достигать произвольной точности за счет уточнения сетки (при бесконечных данных). Сначала мы использовали MLP в качестве учителя, генерируя контролируемые пары (x,y) для обучения KAN для соответствия контролируемым данным. Таким образом, KAN инициализируется для глобально гладкого решения. Затем мы итеративно уточняли KAN, увеличивая количество интервалов сетки до 1000. В конечном итоге точно настроенные KAN достигают потерь $10^{−15}$ , близких к машинной точности (рисунок 12 (d)).

5.4 Изучение конститутивных законов

Конститутивный закон определяет поведение и свойства материала, моделируя его реакцию на внешние силы или деформации. Одной из простейших форм конститутивного закона является закон Гука [34], который линейно связывает деформацию и напряжение эластичных материалов. Конститутивные законы охватывают широкий спектр материалов, включая эластичные материалы [80, 68], пластичные материалы [64] и жидкости [8]. Традиционно эти законы были выведены из первых принципов, основанных на теоретических и экспериментальных исследованиях [79, 81, 6, 29]. Однако недавние достижения представили подходы, основанные на данных, которые используют машинное обучение для обнаружения и уточнения этих законов из выделенных наборов данных [73, 91, 59, 60].

Рисунок 13: Открытие конститутивных законов (соотношений между тензором давления P и тензором деформации F) с помощью KAN, взаимодействуя с ними. Вверху: предсказание диагонального элемента P₁₁; внизу: предсказание внедиагонального элемента P₁₂.

Мы следуем стандартным обозначениям и экспериментальным установкам в упругой части NCLaw [59] и определяем материальный закон как параметризованную функцию $\mathcal{E}_\theta(\mathbf{F})\rightarrow \mathbf{P}$ , где $\mathbf{F}$ обозначает тензор деформации, $\mathbf{P}$ — первый тензор напряжений Piola–Kirchhoff , а — параметры в материнском законе.
Многие изотропные материалы имеют линейные материальные законы при малой деформации:

Однако, когда деформация становится больше, начинают проявляться нелинейные эффекты. Например, материал NeoHookean имеет следующий конститутивный закон:

где и — так называемые параметры Lamé, определяемые так называемым модулем

Юнга и коэффициентом Пуассона как $µ =\frac Y{2(1+v)}$ , $λ=\frac{Yv}{(1+ν )(1-2ν)}$ .

Для простоты выберем Y = 1 и ν = 0,2 , отсюда $µ = \frac {5}{12}≈0,42$ и $λ = \frac{5}{18}≈0,28$ .

Предположим, что мы работаем с нео-гуковскими материалами, и наша цель — использовать KAN для предсказания тензора $\mathbf{P}$ из тензора $\mathbf{F}$ . Предположим, мы не знаем, что это нео-гуковские материалы, но у нас есть предварительное знание того, что линейный конститутивный закон приблизительно действителен для малой деформации. Из-за симметрии достаточно продемонстрировать, что мы можем точно предсказать $P_{11}$ и $P_{12}$ из 9 матричных элементов $\mathbf{F}$ . Мы хотим скомпилировать линейные конститутивные законы в KAN, которые представляют собой $P_{11}= 2µ(F_{11}– 1)+ λ(F_{11}+ F_{22}+ F_{33}– 3)$ , и $P_{12}= µ(F_{12}+ F_{21} )$ . Мы хотим извлечь неогуковские законы из обученных KAN, представляющих собой $P_{11}= µ(F_{11}^2+ F_{12}^2+ F_{13}^2– 1)+λ log⁡(det⁡(\mathbf{F}))$ , и $P_{12}= µ(F_{11} F_{21}+ F_{12} F_{22}+ F_{13} F_{23} )$ . Мы генерируем синтетический набор данных, выбирая $F_{ij}$ из $U[δ_{ij}– w,δ_{ij}+ w](w = 0,2)$ и используя неогуковский конститутивный закон для вычисления P. Наше взаимодействие с KAN проиллюстрировано на рисунке 13. В обоих случаях мы успешно вычислили истинные символические формулы с помощью некоторых индуктивных предубеждений. Однако главный вывод заключается не в том, что мы можем заново найти точные символьные формулы - учитывая, что предварительные знания искажают процесс, - а в том, что в реальных сценариях, где ответы неизвестны и пользователи могут делать предположения на основе предварительных знаний, пакет pykan позволяет легко проверить или учесть предварительные знания.

Предсказание $P_{11}$ На шаге 1 мы компилируем линейный конститутивный закон $P_{11}= 2µ(F_{11}– 1)+ λ(F_{11}+F_{22}+ F_{33}– 3)$ в KAN с помощью kanpiler, что приводит к потере $10^{−2}$ . На шаге 2 мы привносим возмущение в KAN так, чтобы она стала обучаемой (на что указывает изменение цвета с красного на фиолетовый; красный обозначает чисто символическую часть, в то время как фиолетовый указывает на то, что активны как символическая, так и сплайновая части). На шаге 3 мы обучаем возмущенную модель до сходимости, что дает потерю $6×10^{−3}$ . На шаге 4, предполагая, что детерминант является ключевой вспомогательной переменной, мы используем expand_width (для KAN) и augment_input (для набора данных), чтобы включить детерминант |F |. На шаге 5 мы обучаем KAN до сходимости, что дает потерю $2×10^{−4}$ . На шаге 6 мы символизируем KAN, чтобы получить символическую формулу $P_{11} = 0,42(F_{11}^2+ F_{12}^2+F_{13}^2 – 1) + 0,28log⁡(|F|)$ , что дает потерю $3×10^{−11}$ .

Прогнозирование $P_{12}$ Мы экспериментировали с кодированием линейного конститутивного закона в качестве априорного знания и без него. С предварительными знаниями: на шаге 1 мы компилируем линейный конститутивный закон в KAN, что приводит к потере $10^{−2}$ . Затем мы выполняем ряд операций, включая расширение (шаг 2), возмущение (шаг 3), обучение (шаг 4), сокращение (шаг 5) и, наконец, символизацию (шаг 6). Влияние предварительных знаний очевидно, поскольку окончательный KAN определяет только незначительные корректирующие члены линейного конститутивного закона. Окончательный KAN символизируется как $P_{12}=0,42(F_{12}+F_{21})+0,44F_{13} F_{23}-0,03F_{21}^2+0,02 F_{12}^2$ , что дает потерю $7×10^{−3}$ , лишь немного лучше, чем линейный конститутивный закон. Без предварительных знаний: на шаге 1 мы случайным образом инициализируем модель KAN. На шаге 2 мы обучаем KAN с регуляризацией. На шаге 3 мы обрезаем KAN, чтобы сделать ее более компактной. На шаге 4 мы символизируем KAN, получая $P_{12}=0,42(F_{11} F_{21}+F_{12} F_{22}+F_{13} F_{23} )$ , что близко соответствует точной формуле, достигая потери $6×10^{−9}$ . Сравнение двух сценариев — одного с предварительными знаниями и одного без них — показывает неожиданный результат: в этом примере предварительные знания кажутся вредными, возможно, потому, что линейный конститутивный закон, вероятно, находится вблизи (плохого) локального минимума, из которого модели трудно выйти. Однако мы, вероятно, не должны случайным образом экстраполировать этот вывод на более сложные задачи и более крупные сети. Для более сложных задач нахождение локального минимума с помощью градиентного спуска может быть достаточно сложным, что делает желательным приблизительное начальное решение. Кроме того, более крупные сети могут быть достаточно перепараметризованы, чтобы исключить плохие локальные минимумы, гарантируя, что все локальные минимумы будут глобальными и взаимосвязанными.

Рисунок 14: KAN интерполирует между программным обеспечением 1.0 и 2.0. (a) KAN находят баланс между интерпретируемостью (программное обеспечение 1.0) и обучаемостью (программное обеспечение 2.0). (b) Граница Парето KAN на плоскости шкалы интерпретируемости. Количество интерпретации, которое мы можем получить от KAN, зависит от масштабов проблемы и методов интерпретируемости.

6 Связанные работы

Сети Колмогорова-Арнольда (KAN), вдохновленные теоремой Колмогорова-Арнольда о представлении (KART), были недавно предложены Лю и др. [57]. Хотя связь между KART и сетями долгое время считалась несущественной [30], Лю и др. обобщили исходную двухслойную сеть до произвольной глубины и продемонстрировали их перспективность для научно-ориентированных задач с учетом их точности и интерпретируемости. Последующие исследования изучали применение KAN в различных областях, включая графы [12, 22, 38, 99], уравнения в частных производных [87, 78] и обучение операторов [1, 78, 67], табличные данные [70], временные ряды [85, 28, 93, 27], распознавание человеческой активности [49, 50], нейронауку [96, 33], квантовую науку [40, 46, 4], компьютерное зрение [17, 7, 44, 16, 76, 10], обучение ядра [101], ядерную физику [48], электротехнику [69], биологию [71]. Лю и др. использовали B-сплайны для параметризации 1D-функций, а другие исследования изучали различные функции активации, включая wavelet [11, 76], радиальную базисную функцию [47], ряды Фурье [92]), конечный базис [35, 82], базисные функции Якоби [2], полиномиальные базисные функции [75], рациональные функции [3]. Также были предложены другие методы для KAN, включая регуляризацию [5], Kansformer (объединяющий трансформатор и KAN) [15], адаптивное обновление сетки [72], federated learning [98], сверточные KAN [10]. Продолжаются дебаты относительно того, действительно ли KAN превосходят другие нейронные сети (особенно MLP) в различных областях [7, 16, 42, 77, 97], что говорит о том, что, хотя KAN показывают перспективы для задач машинного обучения, необходимы дальнейшие разработки, чтобы превзойти самые современные модели.

Машинное обучение для физических законов Основная цель KAN — помочь в открытии новых физических законов из данных. Предыдущие исследования показали, что машинное обучение можно использовать для изучения различных типов физических законов, включая уравнения движения [90, 13, 43, 20], законы сохранения [55, 53, 54, 58, 32, 89], симметрии [39, 56, 94], фазовые переходы [88, 14], лагранжианы и гамильтонианы [19, 31] и символическую регрессию [18, 61, 23, 74] и т. д. Однако для того, чтобы сделать нейронные сети интерпретируемыми, часто требуются знания, специфичные для предметной области, что ограничивает их общность. Мы надеемся, что KAN превратятся в универсальные базовые модели для физических открытий.

Механистическая интерпретируемость стремится понять, как нейронные сети работают на фундаментальном уровне [21, 62, 86, 25, 66, 100, 51, 24, 45, 26]. Некоторые исследования в этой области сосредоточены на разработке моделей, которые по своей сути являются интерпретируемыми [24] или на предложении методов обучения, которые явно способствуют интерпретируемости [51]. KAN попадают в эту категорию, поскольку теорема Колмогорова-Арнольда раскладывает многомерную функцию на набор одномерных функций, которые значительно легче интерпретировать, чем многомерные функции.

7 Обсуждение

KAN интерполирует между программным обеспечением 1.0 и 2.0 Ключевое различие между сетями Колмогорова-Арнольда (KAN) и другими нейронными сетями (программное обеспечение 2.0, термин, введенный Andrej Karpathy) заключается в их большей интерпретируемости, что позволяет пользователям манипулировать ими, аналогично традиционному программному обеспечению (программное обеспечение 1.0). Однако KAN не являются полностью традиционным программным обеспечением, поскольку они (1) обучаемы (хорошо), что позволяет им изучать новые вещи из данных, и (2) имеют пониженную интерпретируемость (плохо), поскольку они становятся менее интерпретируемыми и контролируемыми по мере увеличения масштабов сети. На рисунке 14 (a) визуализируется положение программного обеспечения 1.0, программного обеспечения 2.0 и KAN на плоскости интерпретируемости-обучаемости, иллюстрируя, как KAN могут сбалансировать компромиссы между этими двумя парадигмами. Целью данной статьи является предложение различных инструментов, которые делают KAN более похожими на программное обеспечение 1.0, используя при этом обучаемость программного обеспечения 2.0.

Повышение эффективности. Первоначальный пакет pykan [57] был плох в эффективности. Мы включили несколько методов для повышения его эффективности.
1. Эффективные оценки сплайнов. Вдохновленные Efficient KAN [9], мы оптимизировали оценки сплайнов, избегая ненужных расширений входных данных. Для KAN с L слоями, N нейронами на слой и размером сетки G использование памяти было сокращено с O(LN^2 G) до O(LNG) .
2. Включение символической ветви (symbolic branch) только при необходимости. Слой KAN содержит как сплайновую, так и символическую ветвь. Символическая ветвь требует гораздо больше времени, чем сплайновая, поскольку ее нельзя распараллелить (нужны катастрофические двойные циклы). Однако во многих приложениях символическая ветвь не нужна, поэтому мы можем пропустить ее, когда это возможно, что значительно сокращает время выполнения, особенно когда сеть большая.
3. Сохранение промежуточных активаций только при необходимости. Для построения диаграмм KAN необходимо сохранять промежуточные активации. Изначально активации сохранялись по умолчанию, что приводило к замедлению времени выполнения и чрезмерному использованию памяти. Теперь мы сохраняем промежуточные активации только при необходимости (например, для построения графиков или применения регуляризаций при обучении). Пользователи могут включить эти улучшения эффективности с помощью одной строки: model.speed().
4. Ускорение на GPU. Изначально все модели запускались на CPU из-за мелкомасштабного характера проблем. Теперь мы сделали модель совместимой с GPU* (*Модели можно обучать на графических процессорах, но не все функции уже поддерживаются графическими процессорами) . Например, обучение [4,100,100,100,1] с Adam для 100 шагов раньше занимало целый день на CPU (до внедрения 1, 2, 3), но теперь занимает 20 секунд на CPU и менее одной секунды на GPU. Однако KAN все еще отстают от MLP по эффективности, особенно в больших масштабах. Сообщество работает над бенчмаркингом и повышением эффективности KAN, и разрыв в эффективности был значительно сокращен [36].

Поскольку цель этой статьи — сделать KAN более похожими на программное обеспечение 1.0, при выборе между 1.0 (интерактивность и универсальность) и 2.0 (эффективность и конкретика) мы отдаем приоритет интерактивности и универсальности, а не эффективности. Например, мы храним афишированные данные в моделях (что потребляет дополнительную память), поэтому пользователи могут просто вызвать model.plot() для генерации диаграммы KAN без ручного выполнения прямого прохода для сбора данных.

Интерпретируемость Хотя обучаемые одномерные функции в KAN более интерпретируемы, чем весовые матрицы в MLP, масштабируемость остается проблемой. По мере масштабирования моделей KAN, даже если все сплайн-функции интерпретируются по отдельности, становится все труднее управлять объединенным выводом этих 1D-функций. Следовательно, KAN может оставаться интерпретируемой только тогда, когда масштаб сети относительно мал (рисунок 14 (b), толстая красная линия). Важно отметить, что интерпретируемость зависит как от внутренних факторов (связанных с самой моделью), так и от внешних факторов (связанных с методами интерпретируемости). Расширенные методы интерпретируемости должны быть способны обрабатывать интерпретируемость на различных уровнях. Например, интерпретируя KAN с помощью символической регрессии, обнаружения модульности и атрибуции признаков (рисунок 14 (b), тонкие красные линии), граница Парето интерпретируемости по сравнению с масштабом выходит за рамки того, чего может достичь только KAN. Перспективным направлением будущих исследований является разработка более продвинутых методов интерпретируемости, которые могут еще больше раздвинуть текущие границы Парето.

Будущая работа В этой статье представлена структура, которая интегрирует KAN с научными знаниями, фокусируясь в первую очередь на мелкомасштабных примерах, связанных с физикой. В дальнейшем два перспективных направления включают применение этой структуры к более масштабным проблемам и ее распространение на другие научные дисциплины за пределами физики.

Признание

Мы хотели бы поблагодарить Yizhou Liu, Di Luo, Akash Kundu и многих пользователей GitHub за плодотворное обсуждение и конструктивные предложения. Мы выражаем особую благодарность пользователю GitHub Blealtan за публикацию их потрясающей работы по повышению эффективности KAN.
Z.L. и M.T. поддерживаются IAIFI через грант NSF PHY-2019786.

Ссылки

[1] D. W. Abueidda, P. Pantidis, and M. E. Mobasher. Deepokan: Deep operator network based on kolmogorov arnold networks for mechanics problems. arXiv preprint arXiv:2405.19143, 2024.

[2] A. A. Aghaei. fkan: Fractional kolmogorov-arnold networks with trainable jacobi basis functions. arXiv preprint arXiv:2406.07456, 2024.

[3] A. A. Aghaei. rkan: Rational kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2406.14495, 2024.

[4] T. Ahmed and M. H. R. Sifat. Graphkan: Graph kolmogorov arnold network for small molecule-protein interaction predictions. In ICML’24 Workshop ML for Life and Material Science: From Theory to Industry Applications, 2024.

[5] M. G. Altarabichi. Dropkan: Regularizing kans by masking post-activations. arXiv preprint arXiv:2407.13044, 2024.

[6] E. M. Arruda and M. C. Boyce. A three-dimensional constitutive model for the large stretch behavior of rubber elastic materials. Journal of the Mechanics and Physics of Solids, 41(2):389–412, 1993.

[7] B. Azam and N. Akhtar. Suitability of kans for computer vision: A preliminary investigation. arXiv preprint arXiv:2406.09087, 2024.

[8] G. K. Batchelor. An introduction to fluid dynamics. Cambridge university press, 2000.

[9] Blealtan. Blealtan/efficient-kan: An efficient pure-pytorch implementation of kolmogorovarnold network (kan).

[10] A. D. Bodner, A. S. Tepsich, J. N. Spolski, and S. Pourteau. Convolutional kolmogorovarnold networks. arXiv preprint arXiv:2406.13155, 2024.

[11] Z. Bozorgasl and H. Chen. Wav-kan: Wavelet kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2405.12832, 2024.

[12] R. Bresson, G. Nikolentzos, G. Panagopoulos, M. Chatzianastasis, J. Pang, and M. Vazirgiannis. Kagnns: Kolmogorov-arnold networks meet graph learning. arXiv preprint arXiv:2406.18380, 2024.

[13] S. L. Brunton, J. L. Proctor, and J. N. Kutz. Discovering governing equations from data by sparse identification of nonlinear dynamical systems. Proceedings of the national academy of sciences, 113(15):3932–3937, 2016.

[14] J. Carrasquilla and R. G. Melko. Machine learning phases of matter. Nature Physics, 13(5):431–434, 2017.

[15] Y. Chen, Z. Zhu, S. Zhu, L. Qiu, B. Zou, F. Jia, Y. Zhu, C. Zhang, Z. Fang, F. Qin, et al. Sckansformer: Fine-grained classification of bone marrow cells via kansformer backbone and hierarchical attention mechanisms. arXiv preprint arXiv:2406.09931, 2024.

[16] M. Cheon. Demonstrating the efficacy of kolmogorov-arnold networks in vision tasks. arXiv preprint arXiv:2406.14916, 2024.

[17] M. Cheon. Kolmogorov-arnold network for satellite image classification in remote sensing. arXiv preprint arXiv:2406.00600, 2024.

[18] M. Cranmer. Interpretable machine learning for science with pysr and symbolicregression. jl. arXiv preprint arXiv:2305.01582, 2023.

[19] M. Cranmer, S. Greydanus, S. Hoyer, P. Battaglia, D. Spergel, and S. Ho. Lagrangian neural networks. arXiv preprint arXiv:2003.04630, 2020.

[20] M. Cranmer, A. Sanchez Gonzalez, P. Battaglia, R. Xu, K. Cranmer, D. Spergel, and S. Ho. Discovering symbolic models from deep learning with inductive biases. Advances in neural information processing systems, 33:17429–17442, 2020.

[21] H. Cunningham, A. Ewart, L. Riggs, R. Huben, and L. Sharkey. Sparse autoencoders find highly interpretable features in language models. arXiv preprint arXiv:2309.08600, 2023.

[22] G. De Carlo, A. Mastropietro, and A. Anagnostopoulos. Kolmogorov-arnold graph neural networks. arXiv preprint arXiv:2406.18354, 2024.

[23] O. Dugan, R. Dangovski, A. Costa, S. Kim, P. Goyal, J. Jacobson, and M. Soljaci ˇ c. Occamnet: ´A fast neural model for symbolic regression at scale. arXiv preprint arXiv:2007.10784, 2020.

[24] N. Elhage, T. Hume, C. Olsson, N. Nanda, T. Henighan, S. Johnston, S. ElShowk, N. Joseph, N. DasSarma, B. Mann, D. Hernandez, A. Askell, K. Ndousse, A. Jones, D. Drain, A. Chen, Y. Bai, D. Ganguli, L. Lovitt, Z. Hatfield-Dodds, J. Kernion, T. Conerly, S. Kravec, S. Fort, S. Kadavath, J. Jacobson, E. Tran-Johnson, J. Kaplan, J. Clark, T. Brown, S. McCandlish, D. Amodei, and C. Olah. Softmax linear units. Transformer Circuits Thread, 2022. https://transformer-circuits.pub/2022/solu/index.html.

[25] N. Elhage, T. Hume, C. Olsson, N. Schiefer, T. Henighan, S. Kravec, Z. Hatfield-Dodds, R. Lasenby, D. Drain, C. Chen, et al. Toy models of superposition. arXiv preprint arXiv:2209.10652, 2022.

[26] J. Engels, I. Liao, E. J. Michaud, W. Gurnee, and M. Tegmark. Not all language model features are linear. arXiv preprint arXiv:2405.14860, 2024.

[27] R. Genet and H. Inzirillo. A temporal kolmogorov-arnold transformer for time series forecasting. arXiv preprint arXiv:2406.02486, 2024.

[28] R. Genet and H. Inzirillo. Tkan: Temporal kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2405.07344, 2024.

[29] A. N. Gent. A new constitutive relation for rubber. Rubber chemistry and technology, 69(1):59–61, 1996.

[30] F. Girosi and T. Poggio. Representation properties of networks: Kolmogorov’s theorem is irrelevant. Neural Computation, 1(4):465–469, 1989.

[31] S. Greydanus, M. Dzamba, and J. Yosinski. Hamiltonian neural networks. Advances in neural information processing systems, 32, 2019.

[32] S. Ha and H. Jeong. Discovering conservation laws from trajectories via machine learning. arXiv preprint arXiv:2102.04008, 2021.

[33] L. F. Herbozo Contreras, J. Cui, L. Yu, Z. Huang, A. Nikpour, and O. Kavehei. Kan-eeg: Towards replacing backbone-mlp for an effective seizure detection system. medRxiv, pages 2024–06, 2024.

[34] R. Hooke. Lectures de potentia restitutiva, or of spring explaining the power of springing bodies. Number 6. John Martyn, 2016.

[35] A. A. Howard, B. Jacob, S. H. Murphy, A. Heinlein, and P. Stinis. Finite basis kolmogorovarnold networks: domain decomposition for data-driven and physics-informed problems. arXiv preprint arXiv:2406.19662, 2024.

[36] Jerry-Master. Jerry-master/kan-benchmarking.

[37] J. Jumper, R. Evans, A. Pritzel, T. Green, M. Figurnov, O. Ronneberger, K. Tunyasuvunakool, R. Bates, A. Žídek, A. Potapenko, et al. Highly accurate protein structure prediction with alphafold. nature, 596(7873):583–589, 2021.

[38] M. Kiamari, M. Kiamari, and B. Krishnamachari. Gkan: Graph kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2406.06470, 2024.

[39] S. Krippendorf and M. Syvaeri. Detecting symmetries with neural networks. Machine Learning: Science and Technology, 2(1):015010, 2020.

[40] A. Kundu, A. Sarkar, and A. Sadhu. Kanqas: Kolmogorov arnold network for quantum architecture search. arXiv preprint arXiv:2406.17630, 2024.

[41] R. Lam, A. Sanchez-Gonzalez, M. Willson, P. Wirnsberger, M. Fortunato, F. Alet, S. Ravuri, T. Ewalds, Z. Eaton-Rosen, W. Hu, et al. Learning skillful medium-range global weather forecasting. Science, 382(6677):1416–1421, 2023.

[42] T. X. H. Le, T. D. Tran, H. L. Pham, V. T. D. Le, T. H. Vu, V. T. Nguyen, Y. Nakashima, et al. Exploring the limitations of kolmogorov-arnold networks in classification: Insights to software training and hardware implementation. arXiv preprint arXiv:2407.17790, 2024.

[43] P. Lemos, N. Jeffrey, M. Cranmer, S. Ho, and P. Battaglia. Rediscovering orbital mechanics with machine learning. Machine Learning: Science and Technology, 4(4):045002, 2023.

[44] C. Li, X. Liu, W. Li, C. Wang, H. Liu, and Y. Yuan. U-kan makes strong backbone for medical image segmentation and generation. arXiv preprint arXiv:2406.02918, 2024.

[45] K. Li, A. K. Hopkins, D. Bau, F. Viégas, H. Pfister, and M. Wattenberg. Emergent world representations: Exploring a sequence model trained on a synthetic task. In The Eleventh International Conference on Learning Representations, 2023.

[46] X. Li, Z. Feng, Y. Chen, W. Dai, Z. He, Y. Zhou, and S. Jiao. Coeff-kans: A paradigm to address the electrolyte field with kans. arXiv preprint arXiv:2407.20265, 2024.

[47] Z. Li. Kolmogorov-arnold networks are radial basis function networks. arXiv preprint arXiv:2405.06721, 2024.

[48] H. Liu, J. Lei, and Z. Ren. From complexity to clarity: Kolmogorov-arnold networks in nuclear binding energy prediction, 2024.

[49] M. Liu, S. Bian, B. Zhou, and P. Lukowicz. ikan: Global incremental learning with kan for human activity recognition across heterogeneous datasets. arXiv preprint arXiv:2406.01646, 2024.

[50] M. Liu, D. Geißler, D. Nshimyimana, S. Bian, B. Zhou, and P. Lukowicz. Initial investigation of kolmogorov-arnold networks (kans) as feature extractors for imu based human activity recognition. arXiv preprint arXiv:2406.11914, 2024.

[51] Z. Liu, E. Gan, and M. Tegmark. Seeing is believing: Brain-inspired modular training for mechanistic interpretability. Entropy, 26(1):41, 2023.

[52] Z. Liu, M. Khona, I. R. Fiete, and M. Tegmark. Growing brains: Co-emergence of anatomical and functional modularity in recurrent neural networks. arXiv preprint arXiv:2310.07711, 2023.

[53] Z. Liu, V. Madhavan, and M. Tegmark. Machine learning conservation laws from differential equations. Physical Review E, 106(4):045307, 2022.

[54] Z. Liu, P. O. Sturm, S. Bharadwaj, S. J. Silva, and M. Tegmark. Interpretable conservation laws as sparse invariants. Phys. Rev. E, 109:L023301, Feb 2024.

[55] Z. Liu and M. Tegmark. Machine learning conservation laws from trajectories. Phys. Rev. Lett., 126:180604, May 2021.

[56] Z. Liu and M. Tegmark. Machine learning hidden symmetries. Physical Review Letters, 128(18):180201, 2022.

[57] Z. Liu, Y. Wang, S. Vaidya, F. Ruehle, J. Halverson, M. Soljačić, T. Y. Hou, and M. Tegmark. ´Kan: Kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2404.19756, 2024.

[58] P. Y. Lu, R. Dangovski, and M. Soljaci ˇ c. Discovering conservation laws using optimal trans- ´port and manifold learning. Nature Communications, 14(1):4744, 2023.

[59] P. Ma, P. Y. Chen, B. Deng, J. B. Tenenbaum, T. Du, C. Gan, and W. Matusik. Learning neural constitutive laws from motion observations for generalizable pde dynamics. In International Conference on Machine Learning, pages 23279–23300. PMLR, 2023.

[60] P. Ma, T.-H. Wang, M. Guo, Z. Sun, J. B. Tenenbaum, D. Rus, C. Gan, and W. Matusik. Llm and simulation as bilevel optimizers: A new paradigm to advance physical scientific discovery. In Forty-first International Conference on Machine Learning, 2024.

[61] G. Martius and C. H. Lampert. Extrapolation and learning equations. arXiv preprint arXiv:1610.02995, 2016.

[62] K. Meng, D. Bau, A. J. Andonian, and Y. Belinkov. Locating and editing factual associations in GPT. In A. H. Oh, A. Agarwal, D. Belgrave, and K. Cho, editors, Advances in Neural Information Processing Systems, 2022.

[63] E. J. Michaud, Z. Liu, and M. Tegmark. Precision machine learning. Entropy, 25(1):175, 2023.

[64] R. v. Mises. Mechanik der festen körper im plastisch-deformablen zustand. Nachrichten von der Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen, Mathematisch-Physikalische Klasse, 1913:582–592, 1913.

[65] C. Misner, K. Thorne, and J. Wheeler. Gravitation. Princeton University Press, 2017.

[66] N. Nanda, L. Chan, T. Lieberum, J. Smith, and J. Steinhardt. Progress measures for grokking via mechanistic interpretability. In The Eleventh International Conference on Learning Representations, 2023.

[67] G. Nehma and M. Tiwari. Leveraging kans for enhanced deep koopman operator discovery. arXiv preprint arXiv:2406.02875, 2024.

[68] R. W. Ogden. Non-linear elastic deformations. Courier Corporation, 1997.

[69] Y. Peng, M. He, F. Hu, Z. Mao, X. Huang, and J. Ding. Predictive modeling of flexible ehd pumps using kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2405.07488, 2024.

[70] E. Poeta, F. Giobergia, E. Pastor, T. Cerquitelli, and E. Baralis. A benchmarking study of kolmogorov-arnold networks on tabular data. arXiv preprint arXiv:2406.14529, 2024.

[71] P. Pratyush, C. Carrier, S. Pokharel, H. D. Ismail, M. Chaudhari, and D. B. KC. Calmphoskan: Prediction of general phosphorylation sites in proteins via fusion of codon aware embeddings with amino acid aware embeddings and wavelet-based kolmogorov arnold network. bioRxiv, pages 2024–07, 2024.

[72] S. Rigas, M. Papachristou, T. Papadopoulos, F. Anagnostopoulos, and G. Alexandridis. Adaptive training of grid-dependent physics-informed kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2407.17611, 2024.

[73] A. Sanchez-Gonzalez, J. Godwin, T. Pfaff, R. Ying, J. Leskovec, and P. Battaglia. Learning to simulate complex physics with graph networks. In International conference on machine learning, pages 8459–8468. PMLR, 2020.

[74] M. Schmidt and H. Lipson. Distilling free-form natural laws from experimental data. science, 324(5923):81–85, 2009.

[75] S. T. Seydi. Exploring the potential of polynomial basis functions in kolmogorov-arnold networks: A comparative study of different groups of polynomials. arXiv preprint arXiv:2406.02583, 2024.

[76] S. T. Seydi. Unveiling the power of wavelets: A wavelet-based kolmogorov-arnold network for hyperspectral image classification. arXiv preprint arXiv:2406.07869, 2024.

[77] H. Shen, C. Zeng, J. Wang, and Q. Wang. Reduced effectiveness of kolmogorov-arnold networks on functions with noise. arXiv preprint arXiv:2407.14882, 2024.

[78] K. Shukla, J. D. Toscano, Z. Wang, Z. Zou, and G. E. Karniadakis. A comprehensive and fair comparison between mlp and kan representations for differential equations and operator networks. arXiv preprint arXiv:2406.02917, 2024.

[79] E. Sifakis and J. Barbic. Fem simulation of 3d deformable solids: a practitioner’s guide to theory, discretization and model reduction. In Acm siggraph 2012 courses, pages 1–50. 2012.

[80] W. S. Slaughter. The linearized theory of elasticity. Springer Science & Business Media, 2012.

[81] B. Smith, F. D. Goes, and T. Kim. Stable neo-hookean flesh simulation. ACM Transactions on Graphics (TOG), 37(2):1–15, 2018.

[82] H.-T. Ta. Bsrbf-kan: A combination of b-splines and radial basic functions in kolmogorovarnold networks. arXiv preprint arXiv:2406.11173, 2024.

[83] T. H. Trinh, Y. Wu, Q. V. Le, H. He, and T. Luong. Solving olympiad geometry without human demonstrations. Nature, 625(7995):476–482, 2024.

[84] S.-M. Udrescu, A. Tan, J. Feng, O. Neto, T. Wu, and M. Tegmark. Ai feynman 2.0: Paretooptimal symbolic regression exploiting graph modularity. Advances in Neural Information Processing Systems, 33:4860–4871, 2020.

[85] C. J. Vaca-Rubio, L. Blanco, R. Pereira, and M. Caus. Kolmogorov-arnold networks (kans) for time series analysis. arXiv preprint arXiv:2405.08790, 2024.

[86] K. R. Wang, A. Variengien, A. Conmy, B. Shlegeris, and J. Steinhardt. Interpretability in the wild: a circuit for indirect object identification in GPT-2 small. In The Eleventh International Conference on Learning Representations, 2023.

[87] Y. Wang, J. Sun, J. Bai, C. Anitescu, M. S. Eshaghi, X. Zhuang, T. Rabczuk, and Y. Liu. Kolmogorov arnold informed neural network: A physics-informed deep learning framework for solving pdes based on kolmogorov arnold networks. arXiv preprint arXiv:2406.11045, 2024.

[88] S. J. Wetzel. Unsupervised learning of phase transitions: From principal component analysis to variational autoencoders. Physical Review E, 96(2):022140, 2017.

[89] S. J. Wetzel, R. G. Melko, J. Scott, M. Panju, and V. Ganesh. Discovering symmetry invariants and conserved quantities by interpreting siamese neural networks. Phys. Rev. Res., 2:033499, Sep 2020.

[90] T. Wu and M. Tegmark. Toward an artificial intelligence physicist for unsupervised learning. Physical Review E, 100(3):033311, 2019.

[91] H. Xu, F. Sin, Y. Zhu, and J. Barbic. Nonlinear material design using principal stretches. ˇACM Transactions on Graphics (TOG), 34(4):1–11, 2015.

[92] J. Xu, Z. Chen, J. Li, S. Yang, W. Wang, X. Hu, and E. C.-H. Ngai. Fourierkan-gcf: Fourier kolmogorov-arnold network–an effective and efficient feature transformation for graph collaborative filtering. arXiv preprint arXiv:2406.01034, 2024.

[93] K. Xu, L. Chen, and S. Wang. Kolmogorov-arnold networks for time series: Bridging predictive power and interpretability. arXiv preprint arXiv:2406.02496, 2024.

[94] J. Yang, R. Walters, N. Dehmamy, and R. Yu. Generative adversarial symmetry discovery. In International Conference on Machine Learning, pages 39488–39508. PMLR, 2023.

[95] K. Yang, A. Swope, A. Gu, R. Chalamala, P. Song, S. Yu, S. Godil, R. J. Prenger, and A. Anandkumar. Leandojo: Theorem proving with retrieval-augmented language models. Advances in Neural Information Processing Systems, 36, 2024.

[96] S. Yang, L. Qin, and X. Yu. Endowing interpretability for neural cognitive diagnosis by efficient kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2405.14399, 2024.

[97] R. Yu, W. Yu, and X. Wang. Kan or mlp: A fairer comparison. arXiv preprint arXiv:2407.16674, 2024.

[98] E. Zeydan, C. J. Vaca-Rubio, L. Blanco, R. Pereira, M. Caus, and A. Aydeger. F-kans: Federated kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2407.20100, 2024.

[99] F. Zhang and X. Zhang. Graphkan: Enhancing feature extraction with graph Kolmogorov arnold networks. arXiv preprint arXiv:2406.13597, 2024.

[100] Z. Zhong, Z. Liu, M. Tegmark, and J. Andreas. The clock and the pizza: Two stories in mechanistic explanation of neural networks. In Thirty-seventh Conference on Neural Information Processing Systems, 2023.

[101] S. Zinage, S. Mondal, and S. Sarkar. Dkl-kan: Scalable deep kernel learning using kolmogorov-arnold networks. arXiv preprint arXiv:2407.21176, 2024.

Источник

Теги

Категория

Новости

Дата

26 нояб. 2024 г.

07.09.23 16:24 CherryTeam

Cherry Team atlyginimų skaičiavimo programa yra labai naudingas įrankis įmonėms, kai reikia efektyviai valdyti ir skaičiuoti darbuotojų atlyginimus. Ši programinė įranga, turinti išsamias funkcijas ir patogią naudotojo sąsają, suteikia daug privalumų, kurie padeda supaprastinti darbo užmokesčio skaičiavimo procesus ir pagerinti finansų valdymą. Štai keletas pagrindinių priežasčių, kodėl Cherry Team atlyginimų skaičiavimo programa yra naudinga įmonėms: Automatizuoti ir tikslūs skaičiavimai: Atlyginimų skaičiavimai rankiniu būdu gali būti klaidingi ir reikalauti daug laiko. Programinė įranga Cherry Team automatizuoja visą atlyginimų skaičiavimo procesą, todėl nebereikia atlikti skaičiavimų rankiniu būdu ir sumažėja klaidų rizika. Tiksliai apskaičiuodama atlyginimus, įskaitant tokius veiksnius, kaip pagrindinis atlyginimas, viršvalandžiai, premijos, išskaitos ir mokesčiai, programa užtikrina tikslius ir be klaidų darbo užmokesčio skaičiavimo rezultatus. Sutaupoma laiko ir išlaidų: Darbo užmokesčio valdymas gali būti daug darbo jėgos reikalaujanti užduotis, reikalaujanti daug laiko ir išteklių. Programa Cherry Team supaprastina ir pagreitina darbo užmokesčio skaičiavimo procesą, nes automatizuoja skaičiavimus, generuoja darbo užmokesčio žiniaraščius ir tvarko išskaičiuojamus mokesčius. Šis automatizavimas padeda įmonėms sutaupyti daug laiko ir pastangų, todėl žmogiškųjų išteklių ir finansų komandos gali sutelkti dėmesį į strategiškai svarbesnę veiklą. Be to, racionalizuodamos darbo užmokesčio operacijas, įmonės gali sumažinti administracines išlaidas, susijusias su rankiniu darbo užmokesčio tvarkymu. Mokesčių ir darbo teisės aktų laikymasis: Įmonėms labai svarbu laikytis mokesčių ir darbo teisės aktų, kad išvengtų baudų ir teisinių problemų. Programinė įranga Cherry Team seka besikeičiančius mokesčių įstatymus ir darbo reglamentus, užtikrindama tikslius skaičiavimus ir teisinių reikalavimų laikymąsi. Programa gali dirbti su sudėtingais mokesčių scenarijais, pavyzdžiui, keliomis mokesčių grupėmis ir įvairių rūšių atskaitymais, todėl užtikrina atitiktį reikalavimams ir kartu sumažina klaidų riziką. Ataskaitų rengimas ir analizė: Programa Cherry Team siūlo patikimas ataskaitų teikimo ir analizės galimybes, suteikiančias įmonėms vertingų įžvalgų apie darbo užmokesčio duomenis. Ji gali generuoti ataskaitas apie įvairius aspektus, pavyzdžiui, darbo užmokesčio paskirstymą, išskaičiuojamus mokesčius ir darbo sąnaudas. Šios ataskaitos leidžia įmonėms analizuoti darbo užmokesčio tendencijas, nustatyti tobulintinas sritis ir priimti pagrįstus finansinius sprendimus. Pasinaudodamos duomenimis pagrįstomis įžvalgomis, įmonės gali optimizuoti savo darbo užmokesčio strategijas ir veiksmingai kontroliuoti išlaidas. Integracija su kitomis sistemomis: Cherry Team programinė įranga dažnai sklandžiai integruojama su kitomis personalo ir apskaitos sistemomis. Tokia integracija leidžia automatiškai perkelti atitinkamus duomenis, pavyzdžiui, informaciją apie darbuotojus ir finansinius įrašus, todėl nebereikia dubliuoti duomenų. Supaprastintas duomenų srautas tarp sistemų padidina bendrą efektyvumą ir sumažina duomenų klaidų ar neatitikimų riziką. Cherry Team atlyginimų apskaičiavimo programa įmonėms teikia didelę naudą - automatiniai ir tikslūs skaičiavimai, laiko ir sąnaudų taupymas, atitiktis mokesčių ir darbo teisės aktų reikalavimams, ataskaitų teikimo ir analizės galimybės bei integracija su kitomis sistemomis. Naudodamos šią programinę įrangą įmonės gali supaprastinti darbo užmokesčio skaičiavimo procesus, užtikrinti tikslumą ir atitiktį reikalavimams, padidinti darbuotojų pasitenkinimą ir gauti vertingų įžvalgų apie savo finansinius duomenis. Programa Cherry Team pasirodo esanti nepakeičiamas įrankis įmonėms, siekiančioms efektyviai ir veiksmingai valdyti darbo užmokestį. https://cherryteam.lt/lt/
08.10.23 01:30 davec8080

The "Shibarium for this confirmed rug pull is a BEP-20 project not related at all to Shibarium, SHIB, BONE or LEASH. The Plot Thickens. Someone posted the actual transactions!!!! https://bscscan.com/tx/0xa846ea0367c89c3f0bbfcc221cceea4c90d8f56ead2eb479d4cee41c75e02c97 It seems the article is true!!!! And it's also FUD. Let me explain. Check this link: https://bscscan.com/token/0x5a752c9fe3520522ea88f37a41c3ddd97c022c2f So there really is a "Shibarium" token. And somebody did a rug pull with it. CONFIRMED. But the "Shibarium" token for this confirmed rug pull is a BEP-20 project not related at all to Shibarium, SHIB, BONE or LEASH.
24.06.24 04:31 tashandiarisha

Web-site. https://trustgeekshackexpert.com/ Tele-Gram, trustgeekshackexpert During the pandemic, I ventured into the world of cryptocurrency trading. My father loaned me $10,000, which I used to purchase my first bitcoins. With diligent research and some luck, I managed to grow my investment to over $350,000 in just a couple of years. I was thrilled with my success, but my excitement was short-lived when I decided to switch brokers and inadvertently fell victim to a phishing attack. While creating a new account, I received what seemed like a legitimate email requesting verification. Without second-guessing, I provided my information, only to realize later that I had lost access to my email and cryptocurrency wallets. Panic set in as I watched my hard-earned assets disappear before my eyes. Desperate to recover my funds, I scoured the internet for solutions. That's when I stumbled upon the Trust Geeks Hack Expert on the Internet. The service claimed to specialize in recovering lost crypto assets, and I decided to take a chance. Upon contacting them, the team swung into action immediately. They guided me through the entire recovery process with professionalism and efficiency. The advantages of using the Trust Geeks Hack Expert Tool became apparent from the start. Their team was knowledgeable and empathetic, understanding the urgency and stress of my situation. They employed advanced security measures to ensure my information was handled safely and securely. One of the key benefits of the Trust Geeks Hack Expert Tool was its user-friendly interface, which made a complex process much more manageable for someone like me, who isn't particularly tech-savvy. They also offered 24/7 support, so I never felt alone during recovery. Their transparent communication and regular updates kept me informed and reassured throughout. The Trust Geeks Hack Expert Tool is the best solution for anyone facing similar issues. Their swift response, expertise, and customer-centric approach set them apart from other recovery services. Thanks to their efforts, I regained access to my accounts and my substantial crypto assets. The experience taught me a valuable lesson about online security and showed me the incredible potential of the Trust Geeks Hack Expert Tool. Email:: trustgeekshackexpert{@}fastservice{.}com WhatsApp + 1.7.1.9.4.9.2.2.6.9.3
26.06.24 18:46 Jacobethannn098

LEGAL RECOUP FOR CRYPTO THEFT BY ADRIAN LAMO HACKER
26.06.24 18:46 Jacobethannn098

Reach Out To Adrian Lamo Hacker via email: [email protected] / WhatsApp: ‪+1 (909) 739‑0269‬ Adrian Lamo Hacker is a formidable force in the realm of cybersecurity, offering a comprehensive suite of services designed to protect individuals and organizations from the pervasive threat of digital scams and fraud. With an impressive track record of recovering over $950 million, including substantial sums from high-profile scams such as a $600 million fake investment platform and a $1.5 million romance scam, Adrian Lamo Hacker has established itself as a leader in the field. One of the key strengths of Adrian Lamo Hacker lies in its unparalleled expertise in scam detection. The company leverages cutting-edge methodologies to defend against a wide range of digital threats, including phishing emails, fraudulent websites, and deceitful schemes. This proactive approach to identifying and neutralizing potential scams is crucial in an increasingly complex and interconnected digital landscape. Adrian Lamo Hacker's tailored risk assessments serve as a powerful tool for fortifying cybersecurity. By identifying vulnerabilities and potential points of exploitation, the company empowers its clients to take proactive measures to strengthen their digital defenses. This personalized approach to risk assessment ensures that each client receives targeted and effective protection against cyber threats. In the event of a security incident, Adrian Lamo Hacker's rapid incident response capabilities come into play. The company's vigilant monitoring and swift mitigation strategies ensure that any potential breaches or scams are addressed in real-time, minimizing the impact on its clients' digital assets and reputation. This proactive stance towards incident response is essential in an era where cyber threats can materialize with alarming speed and sophistication. In addition to its robust defense and incident response capabilities, Adrian Lamo Hacker is committed to empowering its clients to recognize and thwart common scam tactics. By fostering enlightenment in the digital realm, the company goes beyond simply safeguarding its clients; it equips them with the knowledge and awareness needed to navigate the digital landscape with confidence and resilience. Adrian Lamo Hacker services extend to genuine hacking, offering an additional layer of protection for its clients. This may include ethical hacking or penetration testing, which can help identify and address security vulnerabilities before malicious actors have the chance to exploit them. By offering genuine hacking services, Adrian Lamo Hacker demonstrates its commitment to providing holistic cybersecurity solutions that address both defensive and offensive aspects of digital protection. Adrian Lamo Hacker stands out as a premier provider of cybersecurity services, offering unparalleled expertise in scam detection, rapid incident response, tailored risk assessments, and genuine hacking capabilities. With a proven track record of recovering significant sums from various scams, the company has earned a reputation for excellence in combating digital fraud. Through its proactive and empowering approach, Adrian Lamo Hacker is a true ally for individuals and organizations seeking to navigate the digital realm with confidence.
04.07.24 04:49 ZionNaomi

For over twenty years, I've dedicated myself to the dynamic world of marketing, constantly seeking innovative strategies to elevate brand visibility in an ever-evolving landscape. So when the meteoric rise of Bitcoin captured my attention as a potential avenue for investment diversification, I seized the opportunity, allocating $20,000 to the digital currency. Witnessing my investment burgeon to an impressive $70,000 over time instilled in me a sense of financial promise and stability.However, amidst the euphoria of financial growth, a sudden and unforeseen oversight brought me crashing back to reality during a critical business trip—I had misplaced my hardware wallet. The realization that I had lost access to the cornerstone of my financial security struck me with profound dismay. Desperate for a solution, I turned to the expertise of Daniel Meuli Web Recovery.Their response was swift . With meticulous precision, they embarked on the intricate process of retracing the elusive path of my lost funds. Through their unwavering dedication, they managed to recover a substantial portion of my investment, offering a glimmer of hope amidst the shadows of uncertainty. The support provided by Daniel Meuli Web Recovery extended beyond mere financial restitution. Recognizing the imperative of fortifying against future vulnerabilities, they generously shared invaluable insights on securing digital assets. Their guidance encompassed crucial aspects such as implementing hardware wallet backups and fortifying security protocols, equipping me with recovered funds and newfound knowledge to navigate the digital landscape securely.In retrospect, this experience served as a poignant reminder of the critical importance of diligence and preparedness in safeguarding one's assets. Thanks to the expertise and unwavering support extended by Daniel Meuli Web Recovery, I emerged from the ordeal with renewed resilience and vigilance. Empowered by their guidance and fortified by enhanced security measures, I now approach the future with unwavering confidence.The heights of financial promise to the depths of loss and back again has been a humbling one, underscoring the volatility and unpredictability inherent in the digital realm. Yet, through adversity, I have emerged stronger, armed with a newfound appreciation for the importance of diligence, preparedness, and the invaluable support of experts like Daniel Meuli Web Recovery.As I persist in traversing the digital landscape, I do so with a judicious blend of vigilance and fortitude, cognizant that with adequate safeguards and the backing of reliable confidants, I possess the fortitude to withstand any adversity that may arise. For this, I remain eternally appreciative. Email Danielmeuliweberecovery @ email . c om WhatsApp + 393 512 013 528
13.07.24 21:13 michaelharrell825

In 2020, amidst the economic fallout of the pandemic, I found myself unexpectedly unemployed and turned to Forex trading in hopes of stabilizing my finances. Like many, I was drawn in by the promise of quick returns offered by various Forex robots, signals, and trading advisers. However, most of these products turned out to be disappointing, with claims that were far from reality. Looking back, I realize I should have been more cautious, but the allure of financial security clouded my judgment during those uncertain times. Amidst these disappointments, Profit Forex emerged as a standout. Not only did they provide reliable service, but they also delivered tangible results—a rarity in an industry often plagued by exaggerated claims. The positive reviews from other users validated my own experience, highlighting their commitment to delivering genuine outcomes and emphasizing sound financial practices. My journey with Profit Forex led to a net profit of $11,500, a significant achievement given the challenges I faced. However, my optimism was short-lived when I encountered obstacles trying to withdraw funds from my trading account. Despite repeated attempts, I found myself unable to access my money, leaving me frustrated and uncertain about my financial future. Fortunately, my fortunes changed when I discovered PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY. Their reputation for recovering funds from fraudulent schemes gave me hope in reclaiming what was rightfully mine. With a mixture of desperation and cautious optimism, I reached out to them for assistance. PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY impressed me from the start with their professionalism and deep understanding of financial disputes. They took a methodical approach, using advanced techniques to track down the scammers responsible for withholding my funds. Throughout the process, their communication was clear and reassuring, providing much-needed support during a stressful period. Thanks to PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY's expertise and unwavering dedication, I finally achieved a resolution to my ordeal. They successfully traced and retrieved my funds, restoring a sense of justice and relief. Their intervention not only recovered my money but also renewed my faith in ethical financial services. Reflecting on my experience, I've learned invaluable lessons about the importance of due diligence and discernment in navigating the Forex market. While setbacks are inevitable, partnering with reputable recovery specialists like PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY can make a profound difference. Their integrity and effectiveness have left an indelible mark on me, guiding my future decisions and reinforcing the value of trustworthy partnerships in achieving financial goals. I wholeheartedly recommend PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY to anyone grappling with financial fraud or disputes. Their expertise and commitment to client satisfaction are unparalleled, offering a beacon of hope in challenging times. Thank you, PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY, for your invaluable assistance in reclaiming what was rightfully mine. Your service not only recovered my funds but also restored my confidence in navigating the complexities of financial markets with greater caution and awareness. Email: prowizardgilbertrecovery(@)engineer.com Homepage: https://prowizardgilbertrecovery.xyz WhatsApp: +1 (516) 347‑9592
17.07.24 02:26 thompsonrickey

In the vast and often treacherous realm of online investments, I was entangled in a web of deceit that cost me nearly $45,000. It all started innocuously enough with an enticing Instagram profile promising lucrative returns through cryptocurrency investment. Initially, everything seemed promising—communications were smooth, and assurances were plentiful. However, as time passed, my optimism turned to suspicion. Withdrawal requests were met with delays and excuses. The once-responsive "investor" vanished into thin air, leaving me stranded with dwindling hopes and a sinking feeling in my gut. It became painfully clear that I had been duped by a sophisticated scheme designed to exploit trust and naivety. Desperate to recover my funds, I turned to online forums where I discovered numerous testimonials advocating for Muyern Trust Hacker. With nothing to lose, I contacted them, recounting my ordeal with a mixture of skepticism and hope. Their swift response and professional demeanor immediately reassured me that I had found a lifeline amidst the chaos. Muyern Trust Hacker wasted no time in taking action. They meticulously gathered evidence, navigated legal complexities, and deployed their expertise to expedite recovery. In what felt like a whirlwind of activity, although the passage of time was a blur amidst my anxiety, they achieved the seemingly impossible—my stolen funds were returned. The relief I felt was overwhelming. Muyern Trust Hacker not only restored my financial losses but also restored my faith in justice. Their commitment to integrity and their relentless pursuit of resolution were nothing short of remarkable. They proved themselves as recovery specialists and guardians against digital fraud, offering hope to victims like me who had been ensnared by deception. My gratitude knows no bounds for Muyern Trust Hacker. Reach them at muyerntrusted @ m a i l - m e . c o m AND Tele gram @ muyerntrusthackertech
18.07.24 20:13 austinagastya

I Testify For iBolt Cyber Hacker Alone - For Crypto Recovery Service I highly suggest iBolt Cyber Hacker to anyone in need of bitcoin recovery services. They successfully recovered my bitcoin from a fake trading scam with speed and efficiency. This crew is trustworthy, They kept me updated throughout the procedure. I thought my bitcoin was gone, I am so grateful for their help, If you find yourself in a similar circumstance, do not hesitate to reach out to iBolt Cyber Hacker for assistance. Thank you, iBOLT, for your amazing customer service! Please be cautious and contact them directly through their website. Email: S u p p o r t @ ibolt cyber hack . com Cont/Whtp + 3. .9 .3. .5..0. .9. 2. 9. .0 .3. 1 .8. Website: h t t p s : / / ibolt cyber hack . com /
27.08.24 12:50 James889900

All you need is to hire an expert to help you accomplish that. If there’s any need to spy on your partner’s phone. From my experience I lacked evidence to confront my husband on my suspicion on his infidelity, until I came across ETHICALAHCKERS which many commend him of assisting them in their spying mission. So I contacted him and he provided me with access into his phone to view all text messages, call logs, WhatsApp messages and even her location. This evidence helped me move him off my life . I recommend you consult ETHICALHACKERS009 @ gmail.com OR CALL/TEXT ‪+1(716) 318-5536 or whatsapp +14106350697 if you need access to your partner’s phone
27.08.24 13:06 James889900

All you need is to hire an expert to help you accomplish that. If there’s any need to spy on your partner’s phone. From my experience I lacked evidence to confront my husband on my suspicion on his infidelity, until I came across ETHICALAHCKERS which many commend him of assisting them in their spying mission. So I contacted him and he provided me with access into his phone to view all text messages, call logs, WhatsApp messages and even her location. This evidence helped me move him off my life . I recommend you consult ETHICALHACKERS009 @ gmail.com OR CALL/TEXT ‪+1(716) 318-5536 or whatsapp +14106350697 if you need access to your partner’s phone
02.09.24 20:24 [email protected]

If You Need Hacker To Recover Your Bitcoin Contact Paradox Recovery Wizard Paradox Recovery Wizard successfully recovered $123,000 worth of Bitcoin for my husband, which he had lost due to a security breach. The process was efficient and secure, with their expert team guiding us through each step. They were able to trace and retrieve the lost cryptocurrency, restoring our peace of mind and financial stability. Their professionalism and expertise were instrumental in recovering our assets, and we are incredibly grateful for their service. Email: support@ paradoxrecoverywizard.com Email: paradox_recovery @cyberservices.com Wep: https://paradoxrecoverywizard.com/ WhatsApp: +39 351 222 3051.
06.09.24 01:35 Celinagarcia

HOW TO RECOVER MONEY LOST IN BITCOIN/USDT TRADING OR TO CRYPTO INVESTMENT !! Hi all, friends and families. I am writing From Alberton Canada. Last year I tried to invest in cryptocurrency trading in 2023, but lost a significant amount of money to scammers. I was cheated of my money, but thank God, I was referred to Hack Recovery Wizard they are among the best bitcoin recovery specialists on the planet. they helped me get every penny I lost to the scammers back to me with their forensic techniques. and I would like to take this opportunity to advise everyone to avoid making cryptocurrency investments online. If you have already lost money on forex, cryptocurrency or Ponzi schemes, please contact [email protected] or WhatsApp: +1 (757) 237–1724 at once they can help you get back the crypto you lost to scammers. BEST WISHES. Celina Garcia.
06.09.24 01:44 Celinagarcia

HOW TO RECOVER MONEY LOST IN BITCOIN/USDT TRADING OR TO CRYPTO INVESTMENT !! Hi all, friends and families. I am writing From Alberton Canada. Last year I tried to invest in cryptocurrency trading in 2023, but lost a significant amount of money to scammers. I was cheated of my money, but thank God, I was referred to Hack Recovery Wizard they are among the best bitcoin recovery specialists on the planet. they helped me get every penny I lost to the scammers back to me with their forensic techniques. and I would like to take this opportunity to advise everyone to avoid making cryptocurrency investments online. If you have already lost money on forex, cryptocurrency or Ponzi schemes, please contact [email protected] or WhatsApp: +1 (757) 237–1724 at once they can help you get back the crypto you lost to scammers. BEST WISHES. Celina Garcia.
16.09.24 00:10 marcusaustin

Bitcoin Recovery Services: Restoring Lost Cryptocurrency If you've lost access to your cryptocurrency and unable to make a withdrawal, I highly recommend iBolt Cyber Hacker Bitcoin Recovery Services. Their team is skilled, professional, and efficient in recovering lost Bitcoin. They provide clear communication, maintain high security standards, and work quickly to resolve issues. Facing the stress of lost cryptocurrency, iBolt Cyber Hacker is a trusted service that will help you regain access to your funds securely and reliably. Highly recommended! Email: S u p p o r t @ ibolt cyber hack . com Cont/Whtp + 3. .9 .3. .5..0. .9. 2. 9. .0 .3. 1 .8. Website: h t t p s : / / ibolt cyber hack . com /
16.09.24 00:11 marcusaustin

Bitcoin Recovery Services: Restoring Lost Cryptocurrency If you've lost access to your cryptocurrency and unable to make a withdrawal, I highly recommend iBolt Cyber Hacker Bitcoin Recovery Services. Their team is skilled, professional, and efficient in recovering lost Bitcoin. They provide clear communication, maintain high security standards, and work quickly to resolve issues. Facing the stress of lost cryptocurrency, iBolt Cyber Hacker is a trusted service that will help you regain access to your funds securely and reliably. Highly recommended! Email: S u p p o r t @ ibolt cyber hack . com Cont/Whtp + 3. .9 .3. .5..0. .9. 2. 9. .0 .3. 1 .8. Website: h t t p s : / / ibolt cyber hack . com /
23.09.24 18:56 matthewshimself

At first, I was admittedly skeptical about Worldcoin (ref: https://worldcoin.org/blog/worldcoin/this-is-worldcoin-video-explainer-series), particularly around the use of biometric data and the WLD token as a reward mechanism for it. However, after following the project closer, I’ve come to appreciate the broader vision and see the value in the underlying tech behind it. The concept of Proof of Personhood (ref: https://worldcoin.org/blog/worldcoin/proof-of-personhood-what-it-is-why-its-needed) has definitely caught my attention, and does seem like a crucial step towards tackling growing issues like bots, deepfakes, and identity fraud. Sam Altman’s vision is nothing short of ambitious, but I do think he & Alex Blania have the chops to realize it as mainstay in the global economy.
01.10.24 14:54 Sinewclaudia

I lost about $876k few months ago trading on a fake binary option investment websites. I didn't knew they were fake until I tried to withdraw. Immediately, I realized these guys were fake. I contacted Sinew Claudia world recovery, my friend who has such experience before and was able to recover them, recommended me to contact them. I'm a living testimony of a successful recovery now. You can contact the legitimate recovery company below for help and assistance. [email protected] [email protected] WhatsApp: 6262645164
02.10.24 22:27 Emily Hunter

Can those who have fallen victim to fraud get their money back? Yes, you might be able to get back what was taken from you if you fell prey to a fraud from an unregulated investing platform or any other scam, but only if you report it to the relevant authorities. With the right plan and supporting documentation, you can get back what you've lost. Most likely, the individuals in control of these unregulated platforms would attempt to convince you that what happened to your money was a sad accident when, in fact, it was a highly skilled heist. You should be aware that there are resources out there to help you if you or someone you know has experienced one of these circumstances. Do a search using (deftrecoup (.) c o m). Do not let the perpetrators of this hoaxes get away with ruining you mentally and financially.
18.10.24 09:34 freidatollerud

The growth of WIN44 in Brazil is very interesting! If you're looking for more options for online betting and casino games, I recommend checking out Casinos in Brazil. It's a reliable platform that offers a wide variety of games and provides a safe and enjoyable experience for users. It's worth checking out! https://win44.vip
31.10.24 00:13 ytre89

Can those who have fallen victim to fraud get their money back? Yes, you might be able to get back what was taken from you if you fell prey to a fraud from an unregulated investing platform or any other scam, but only if you report it to the relevant authorities. With the right plan and supporting documentation, you can get back what you've lost. Most likely, the individuals in control of these unregulated platforms would attempt to convince you that what happened to your money was a sad accident when, in fact, it was a highly skilled heist. You should be aware that there are resources out there to help you if you or someone you know has experienced one of these circumstances. Do a search using (deftrecoup (.) c o m). Do not let the perpetrators of this hoaxes get away with ruining you mentally and financially.
02.11.24 14:44 diannamendoza732

In the world of Bitcoin recovery, Pro Wizard Gilbert truly represents the gold standard. My experience with Gilbert revealed just how exceptional his methods are and why he stands out as the premier authority in this critical field. When I first encountered the complexities of Bitcoin recovery, I was daunted by the technical challenges and potential risks. Gilbert’s approach immediately distinguished itself through its precision and effectiveness. His methods are meticulously designed, combining cutting-edge techniques with an in-depth understanding of the Bitcoin ecosystem. He tackled the recovery process with a level of expertise and thoroughness that was both impressive and reassuring. What sets Gilbert’s methods apart is not just their technical sophistication but also their strategic depth. He conducts a comprehensive analysis of each case, tailoring his approach to address the unique aspects of the situation. This personalized strategy ensures that every recovery effort is optimized for success. Gilbert’s transparent communication throughout the process was invaluable, providing clarity and confidence during each stage of the recovery. The results I achieved with Pro Wizard Gilbert’s methods were remarkable. His gold standard approach not only recovered my Bitcoin but did so with an efficiency and reliability that exceeded my expectations. His deep knowledge, innovative techniques, and unwavering commitment make him the definitive expert in Bitcoin recovery. For anyone seeking a benchmark in Bitcoin recovery solutions, Pro Wizard Gilbert’s methods are the epitome of excellence. His ability to blend technical prowess with strategic insight truly sets him apart in the industry. Call: for help. You may get in touch with them at ; Email: (prowizardgilbertrecovery(@)engineer.com) Telegram ; https://t.me/Pro_Wizard_Gilbert_Recovery Homepage ; https://prowizardgilbertrecovery.info
12.11.24 00:50 TERESA

Brigadia Tech Remikeable recovery has exhibited unparalleled strength in the realm of recovery. They stand out as the premier team to collaborate with if you encounter withdrawal difficulties from the platform where you’ve invested. Recently, I engaged with them to recover over a million dollars trapped in an investment platform I’d been involved with for months. I furnished their team with every detail of the investment, including accounts, names, and wallet addresses to which I sent the funds. This decision proved to be the best I’ve made, especially after realizing the company had scammed me. Brigadia Tech Remikeable recovery ensures exemplary service delivery and ensures the perpetrators face justice. They employ advanced techniques to ensure you regain access to your funds. Understandably, many individuals who have fallen victim to investment scams may still regret engaging in online services again due to the trauma of being scammed. However, I implore you to take action. Seek assistance from Brigadia Tech Remikeable Recovery Experts today and witness their remarkable capabilities. I am grateful that I resisted their enticements, and despite the time it took me to discover brigadia tech recovery, they ultimately fulfilled my primary objective. Without Brigadia Tech Recovery's intervention, I would have remained despondent and perplexed indefinitely. Also if you are looking for the best and safest investment company you can contact them, for wallet recovery, difficult withdrawal, etc. I am so happy to keep getting my daily BTC, all I do is keep 0.1 BTC in my mining wallet with the help of Brigadia Tech. They connected me to his mining stream and I earn 0.4 btc per day with this, my daily profit. I can get myself a new house and car. I can’t believe I have thousands of dollars in my bank account. Now you can get in. ([email protected]) Telegram +1 (323)-9 1 0 -1 6 0 5
17.11.24 09:31 Vivianlocke223

Have You Fallen Victim to Cryptocurrency Fraud? If your Bitcoin or other cryptocurrencies were stolen due to scams or fraudulent activities, Free Crypto Recovery Fixed is here to help you recover what’s rightfully yours. As a leading recovery service, we specialize in restoring lost cryptocurrency and assisting victims of fraud — no matter how long ago the incident occurred. Our experienced team leverages cutting-edge tools and expertise to trace and recover stolen assets, ensuring swift and secure results. Don’t let scammers jeopardize your financial security. With Free Crypto Recovery Fixed, you’re putting your trust in a reliable and dedicated team that prioritizes recovering your assets and ensuring their future protection. Take the First Step Toward Recovery Today! 📞 Text/Call: +1 407 212 7493 ✉️ Email: [email protected] 🌐 Website: https://freecryptorecovery.net Let us help you regain control of your financial future — swiftly and securely.
19.11.24 03:06 [email protected]

My entire existence fell apart when a malevolent hacker recently gained access to my online accounts. I felt violated and extremely uneasy after discovering that the digital platforms I depended on for communication, employment, and finances had been compromised. Regaining control and restoring my digital security was an overwhelming task in the immediate aftermath. To help me navigate the difficult process of recovering my accounts and getting my peace of mind back, TRUST GEEKS HACK EXPERT came into my life as a ray of hope. They immediately put their highly skilled professionals to work, thoroughly examining the vulnerability and methodically preventing unwanted access. They guided me through each stage soothingly, explaining what was occurring and why, so I never felt lost or alone. They communicated with service providers to restore my legitimate access while skillfully navigating the complex labyrinth of account recovery procedures. My digital footprint was cleaned and strengthened against future attacks thanks to their equally amazing ability to remove any remaining evidence of the hacker's presence. However, TRUST GEEKS HACK EXPERT actual worth went beyond its technical aspects. They offered constant emotional support during the ordeal, understanding my fragility and sense of violation. My tense nerves were calmed by their comforting presence and kind comments, which served as a reminder that I wasn't alone in this struggle. With their help, I was able to reestablish my sense of security and control, which enabled me to return my attention to the significant areas of my life that had been upended. Ultimately, TRUST GEEKS HACK EXPERT all-encompassing strategy not only recovered my online accounts but also my general peace of mind, which is a priceless result for which I am incredibly appreciative of their knowledge and kindness. Make the approach and send a message to TRUST GEEKS HACK EXPERT Via Web site <> www://trustgeekshackexpert.com/-- E>mail: Trustgeekshackexpert(At)fastservice..com -- TeleGram,<> Trustgeekshackexpert
19.11.24 03:07 [email protected]

My entire existence fell apart when a malevolent hacker recently gained access to my online accounts. I felt violated and extremely uneasy after discovering that the digital platforms I depended on for communication, employment, and finances had been compromised. Regaining control and restoring my digital security was an overwhelming task in the immediate aftermath. To help me navigate the difficult process of recovering my accounts and getting my peace of mind back, TRUST GEEKS HACK EXPERT came into my life as a ray of hope. They immediately put their highly skilled professionals to work, thoroughly examining the vulnerability and methodically preventing unwanted access. They guided me through each stage soothingly, explaining what was occurring and why, so I never felt lost or alone. They communicated with service providers to restore my legitimate access while skillfully navigating the complex labyrinth of account recovery procedures. My digital footprint was cleaned and strengthened against future attacks thanks to their equally amazing ability to remove any remaining evidence of the hacker's presence. However, TRUST GEEKS HACK EXPERT actual worth went beyond its technical aspects. They offered constant emotional support during the ordeal, understanding my fragility and sense of violation. My tense nerves were calmed by their comforting presence and kind comments, which served as a reminder that I wasn't alone in this struggle. With their help, I was able to reestablish my sense of security and control, which enabled me to return my attention to the significant areas of my life that had been upended. Ultimately, TRUST GEEKS HACK EXPERT all-encompassing strategy not only recovered my online accounts but also my general peace of mind, which is a priceless result for which I am incredibly appreciative of their knowledge and kindness. Make the approach and send a message to TRUST GEEKS HACK EXPERT Via Web site <> www://trustgeekshackexpert.com/-- E>mail: Trustgeekshackexpert(At)fastservice..com -- TeleGram,<> Trustgeekshackexpert
21.11.24 04:14 ronaldandre617

Being a parent is great until your toddler figures out how to use your devices. One afternoon, I left my phone unattended for just a few minutes rookie mistake of the century. I thought I’d take a quick break, but little did I know that my curious little genius was about to embark on a digital adventure. By the time I came back, I was greeted by two shocking revelations: my toddler had somehow managed to buy a $5 dinosaur toy online and, even more alarmingly, had locked me out of my cryptocurrency wallet holding a hefty $75,000. Yes, you heard that right a dinosaur toy was the least of my worries! At first, I laughed it off. I mean, what toddler doesn’t have a penchant for expensive toys? But then reality set in. I stared at my phone in disbelief, desperately trying to guess whatever random string of gibberish my toddler had typed as a new password. Was it “dinosaur”? Or perhaps “sippy cup”? I felt like I was in a bizarre game of Password Gone Wrong. Every attempt led to failure, and soon the laughter faded, replaced by sheer panic. I was in way over my head, and my heart raced as the countdown of time ticked away. That’s when I decided to take action and turned to Digital Tech Guard Recovery, hoping they could solve the mystery that was my toddler’s handiwork. I explained my predicament, half-expecting them to chuckle at my misfortune, but they were incredibly professional and empathetic. Their confidence put me at ease, and I knew I was in good hands. Contact With WhatsApp: +1 (443) 859 - 2886 Email digital tech guard . com Telegram: digital tech guard recovery . com website link :: https : // digital tech guard . com Their team took on the challenge like pros, employing their advanced techniques to unlock my wallet with a level of skill I can only describe as magical. As I paced around, anxiously waiting for updates, I imagined my toddler inadvertently locking away my life savings forever. But lo and behold, it didn’t take long for Digital Tech Guard Recovery to work their magic. Not only did they recover the $75,000, but they also gave me invaluable tips on securing my wallet better like not leaving it accessible to tiny fingers! Who knew parenting could lead to such dramatic situations? Crisis averted, and I learned my lesson: always keep my devices out of reach of little explorers. If you ever find yourself in a similar predicament whether it’s tech-savvy toddlers or other digital disasters don’t hesitate to reach out to Digital Tech Guard Recovery. They saved my funds and my sanity, proving that no challenge is too great, even when it involves a toddler’s mischievous fingers!
21.11.24 08:02 Emily Hunter

If I hadn't found a review online and filed a complaint via email to support@deftrecoup. com , the people behind this unregulated scheme would have gotten away with leaving me in financial ruins. It was truly the most difficult period of my life.
22.11.24 04:41 [email protected]

I never could have imagined the nightmare of losing access to my digital wallet. All of my cryptocurrency holdings were abruptly imprisoned, inaccessible, and appeared to be lost forever following a catastrophic hardware breakdown. Years of meticulous investment and careful saving were reduced to nothing more than strings of code that I could no longer control, and I could feel the dread and sorrow that swept through me at that very instant. Thankfully, during my worst moment, I came into (TRUST GEEKS HACK EXPERT), a professional service devoted to recovering lost or inaccessible digital data. With optimism, I went out to their team of skilled technologists, laying bare the full nature of my issue. What followed was a laborious, multi-step process that required an almost surgical level of digital forensics and Bitcoin skill. In order to create a thorough profile of my wallet's contents and activities, the (TRUST GEEKS HACK EXPERT) team first thoroughly examined the transaction history and metadata connected to it. Next, they implemented a series of advanced recovery techniques, using cutting-edge software tools to bypass the access barriers that had left me locked out. The entire process was shrouded in secrecy and discretion, with the (TRUST GEEKS HACK EXPERT) team working tirelessly to protect the confidentiality of my sensitive financial information. After what felt like an eternity of nervous anticipation, the day finally arrived when I received the triumphant notification – my wallet had been successfully restored, and all of my precious digital assets had been returned to my control. The sense of relief was indescribable, as I could finally breathe easy knowing that the fruits of my financial discipline had been safeguarded. While the experience of losing access to my wallet was undoubtedly traumatic, (TRUST GEEKS HACK EXPERT) intervention allowed me to emerge from the ordeal with my cryptocurrency holdings intact, and a renewed appreciation for the importance of proactive digital asset management. You can contact Them through EMAIL: [email protected] - TELEGRAM: TRUSTGEEKSHACKEXPERT
22.11.24 15:26 cliftonhandyman

Your Lost Bitcoins Are Not Gone Forever? Enquire From iBolt Cyber Hacker iBolt Cyber Hacker is a cybersecurity service that specializes in Bitcoin and cryptocurrency recovery. Even if your Bitcoin is locked away in a scammer inaccessible wallet, they have the tools and expertise to retrieve it. Many people, including seasoned cryptocurrency investors, face the daunting possibility of never seeing their lost funds again. iBolt cyber hacker service is a potential lifeline in these situations. I understand the concerns many people might have about trusting a third-party service to recover their Bitcoin. iBolt Cyber Hacker takes security seriously, implementing encryption and stringent privacy protocols. I was assured that no sensitive data would be compromised during the recovery process. Furthermore, their reputation in the cryptocurrency community, based on positive feedback from previous clients, gave me confidence that I was in good hands. Whtp +39, 351..105, 3619 Em.ail: ibolt @ cyber- wizard. co m
22.11.24 23:43 teresaborja

all thanks to Tech Cyber Force Recovery expert assistance. As a novice in cryptocurrency, I had been carefully accumulating a modest amount of Bitcoin, meticulously safeguarding my digital wallet and private keys. However, as the adage goes, the best-laid plans can often go awry, and that's precisely what happened to me. Due to a series of technical mishaps and human errors, I found myself locked out of my Bitcoin wallet, unable to access the fruits of my digital labors. Panic set in as I frantically searched for a solution, scouring the internet for any glimmer of hope. That's when I stumbled upon the Tech Cyber Force Recovery team, a group of seasoned cryptocurrency specialists who had built a reputation for their ability to recover lost or inaccessible digital assets. Skeptical at first, I reached out, desperate for a miracle. To my utter amazement, the Tech Cyber Force Recovery experts quickly assessed my situation and devised a meticulous plan of attack. Through their deep technical knowledge, unwavering determination, and a keen eye for detail, they were able to navigate the complex labyrinth of blockchain technology, ultimately recovering my entire Bitcoin portfolio. What had once seemed like a hopeless endeavor was now a reality, and I found myself once again in possession of my digital wealth, all thanks to the incredible efforts of the Tech Cyber Force Recovery team. This experience has not only restored my faith in the cryptocurrency ecosystem. Still, it has also instilled in me a profound appreciation for the critical role that expert recovery services can play in safeguarding one's digital assets. ENAIL < Tech cybers force recovery @ cyber services. com > WEBSITE < ht tps : // tech cyber force recovery. info > TEXT < +1. 561. 726. 3697 >
24.11.24 02:21 [email protected]

I never could have imagined the nightmare of losing access to my digital wallet. All of my cryptocurrency holdings were abruptly imprisoned, inaccessible, and appeared to be lost forever following a catastrophic hardware breakdown. Years of meticulous investment and careful saving were reduced to nothing more than strings of code that I could no longer control, and I could feel the dread and sorrow that swept through me at that very instant. Thankfully, during my worst moment, I came into (TRUST GEEKS HACK EXPERT), a professional service devoted to recovering lost or inaccessible digital data. With optimism, I went out to their team of skilled technologists, laying bare the full nature of my issue. What followed was a laborious, multi-step process that required an almost surgical level of digital forensics and Bitcoin skill. In order to create a thorough profile of my wallet's contents and activities, the (TRUST GEEKS HACK EXPERT) team first thoroughly examined the transaction history and metadata connected to it. Next, they implemented a series of advanced recovery techniques, using cutting-edge software tools to bypass the access barriers that had left me locked out. The entire process was shrouded in secrecy and discretion, with the (TRUST GEEKS HACK EXPERT) team working tirelessly to protect the confidentiality of my sensitive financial information. After what felt like an eternity of nervous anticipation, the day finally arrived when I received the triumphant notification – my wallet had been successfully restored, and all of my precious digital assets had been returned to my control. The sense of relief was indescribable, as I could finally breathe easy knowing that the fruits of my financial discipline had been safeguarded. While the experience of losing access to my wallet was undoubtedly traumatic, (TRUST GEEKS HACK EXPERT) intervention allowed me to emerge from the ordeal with my cryptocurrency holdings intact, and a renewed appreciation for the importance of proactive digital asset management. You can contact Them through EMAIL: [email protected] - TELEGRAM: TRUSTGEEKSHACKEXPERT
25.11.24 02:19 briankennedy

COMMENT ON I NEED A HACKER TO RECOVER MONEY FROM BINARY TRADING. HIRE FASTFUND RECOVERY
25.11.24 02:20 briankennedy

After countless hours of research and desperate attempts to find a solution, I stumbled upon FASTFUND RECOVERY. It was like finding an oasis in the middle of a desert. Their website promised to help victims of scams reclaim what was rightfully theirs, and I instantly knew I had to give them a shot. Before diving headfirst into the recovery process, I wanted to make sure that FASTFUND RECOVERY was the real deal. So, I did my due diligence and looked into their expertise and reputation. To my relief, I found that they had an impeccable track record, successfully assisting countless individuals in recovering their lost funds. Their team consisted of experts in cybersecurity and financial fraud, armed with the knowledge and tools needed to tackle even the most intricate scams. With their reputation preceding them, I felt a renewed sense of hope. FASTFUND RECOVERY successfully came to my aid and got back the amount I lost to these scammers and for this, I am sending this article for clarification. The info of FASTFUND RECOVERY is email: Fastfundrecovery8 (@)Gmail (.) com. Web fastfundrecovery(.)com. (W/A 1 807/500/7554)
26.11.24 21:59 [email protected]

In a world brimming with enticing investment opportunities, it is crucial to tread carefully. The rise of digital currencies has attracted many eager investors, but along with this excitement lurk deceitful characters ready to exploit the unsuspecting. I learned this lesson the hard way, and I want to share my story in the hopes that it can save someone from making the same mistakes I did. It all began innocently enough when I came across an engaging individual on Facebook. Lured in by promises of high returns in the cryptocurrency market, I felt the electric thrill of potential wealth coursing through me. Initial investments returned some profits, and that exhilarating taste of success fueled my ambition. Encouraged by a meager withdrawal, I decided to commit even more funds. This was the moment I let my guard down, blinded by greed. As time went on, the red flags started to multiply. The moment I tried to withdraw my earnings, a cascade of unreasonable fees appeared like a thick mist, obscuring the truth. “Just a little more,” they said, “Just until the next phase.” I watched my hard-earned money slip through my fingers as I scraped together every last cent to pay those relentless fees. My trust had become my downfall. In the end, I lost not just a significant amount of cash, but my peace of mind about $1.1 million vanished into the abyss of false promises and hollow guarantees. But despair birthed hope. After a cascade of letdowns, I enlisted the help of KAY-NINE CYBER SERVICES, a team that specializes in reclaiming lost funds from scams. Amazingly, they worked tirelessly to piece together what had been ripped away, providing me with honest guidance when I felt utterly defeated. Their expertise in navigating the treacherous waters of crypto recovery was a lifeline I desperately needed. To anyone reading this, please let my story serve as a warning. High returns often come wrapped in the guise of deception. Protect your investments, scrutinize every opportunity, and trust your instincts. Remember, the allure of quick riches can lead you straight to heartbreak, but with cautious determination and support, it is possible to begin healing from such devastating loss. Stay informed, stay vigilant, and may you choose your investment paths wisely. Email: kaynine @ cyberservices . com
26.11.24 23:12 rickrobinson8

FAST SOLUTION FOR CYPTOCURRENCY RECOVERY SPARTAN TECH GROUP RETRIEVAL
26.11.24 23:12 rickrobinson8

Although recovering from the terrible effects of investment fraud can seem like an impossible task, it is possible to regain financial stability and go on with the correct assistance and tools. In my own experience with Wizard Web Recovery, a specialized company that assisted me in navigating the difficulties of recouping my losses following my fall prey to a sophisticated online fraud, that was undoubtedly the case. My life money had disappeared in an instant, leaving me in a state of shock when I first contacted Spartan Tech Group Retrieval through this Email: spartantechretrieval (@) g r o u p m a i l .c o m The compassionate and knowledgeable team there quickly put my mind at ease, outlining a clear and comprehensive plan of action. They painstakingly examined every aspect of my case, using their broad business contacts and knowledge to track the movement of my pilfered money. They empowered me to make knowledgeable decisions regarding the rehabilitation process by keeping me updated and involved at every stage. But what I valued most was their unrelenting commitment and perseverance; they persisted in trying every option until a sizable amount of my lost money had been successfully restored. It was a long and arduous journey, filled with ups and downs, but having Spartan Tech Group Retrieval in my corner made all the difference. Thanks to their tireless efforts, I was eventually able to rebuild my financial foundation and reclaim a sense of security and control over my life. While the emotional scars of investment fraud may never fully heal, working with this remarkable organization played a crucial role in my ability to move forward and recover. For proper talks, contact on WhatsApp:+1 (971) 4 8 7 - 3 5 3 8 and Telegram:+1 (581) 2 8 6 - 8 0 9 2 Thank you for your time reading as it will be of help.
27.11.24 00:39 [email protected]

Although recovering lost or inaccessible Bitcoin can be difficult and unpleasant, it is frequently possible to get back access to one's digital assets with the correct help and direction. Regarding the subject at hand, the examination of Trust Geeks Hack Expert Website www://trustgeekshackexpert.com/ assistance after an error emphasizes how important specialized services may be in negotiating the difficulties of Bitcoin recovery. These providers possess the technical expertise and resources necessary to assess the situation, identify the root cause of the issue, and devise a tailored solution to retrieve the lost funds. By delving deeper into the specifics of Trust Geeks Hack Expert approach, we can gain valuable insights into the nuances of this process. Perhaps they leveraged advanced blockchain analysis tools to trace the transaction history and pinpoint the location of the missing Bitcoins. Or they may have collaborated with the relevant parties, such as exchanges or wallet providers, to facilitate the recovery process. Equally important is the level of personalized support and communication that Trust Geeks Hack Expert likely provided, guiding the affected individual through each step of the recovery effort and offering reassurance during what can be an anxious and uncertain time. The success of their efforts, as evidenced by the positive outcome, underscores the importance of seeking out reputable and experienced service providers when faced with a Bitcoin-related mishap, as they possess the specialized knowledge and resources to navigate these challenges and restore access to one's digital assets. Email.. [email protected]
27.11.24 09:10 Michal Novotny

The biggest issue with cryptocurrency is that it is unregulated, wh ich is why different people can come up with different fake stories all the time, and it is unfortunate that platforms like Facebook and others only care about the money they make from them through ads. I saw an ad on Facebook for Cointiger and fell into the scam, losing over $30,000. I reported it to Facebook, but they did nothing until I discovered deftrecoup . c o m from a crypto community; they retrieved approximately 95% of the total amount I lost.
01.12.24 17:21 KollanderMurdasanu

REACH OUT TO THEM WhatsApp + 156 172 63 697 Telegram (@)Techcyberforc We were in quite a bit of distress. The thrill of our crypto investments, which had once sparked excitement in our lives, was slowly turning into anxiety when my husband pointed out unusual withdrawal issues. At first, we brushed it off as minor glitches, but the situation escalated when we found ourselves facing login re-validation requests that essentially locked us out of our crypto wallet—despite entering the correct credentials. Frustrated and anxious, we sought advice from a few friends, only to hit a wall of uncertainty. Turning to the vast expanse of the internet felt daunting, but in doing so, we stumbled upon TECH CYBER FORCE RECOVERY. I approached them with a mix of skepticism and hope; after all, my understanding of these technical matters was quite limited. Yet, from our very first interaction, it was clear that they were the experts we desperately needed. They walked us through the intricacies of the recovery process, patiently explaining each mechanism—even if some of it went over my head, their reassurance was calming. Our responsibility was simple: to provide the correct information to prove our ownership of the crypto account, and thankfully, we remained on point in our responses. in a timely fashion, TECH CYBER FORCE RECOVERY delivered on their promises, addressing all our withdrawal and access issues exactly when they said they would. The relief we felt was immense, and the integrity they displayed made me confident in fully recommending their services. If you ever find yourself in a similar predicament with your crypto investments, I wholeheartedly suggest reaching out to them. You can connect with TECH CYBER FORCE RECOVERY through their contact details for assistance and valuable guidance. Remember, hope is only a reach away!
02.12.24 23:02 ytre89

Online crypto investment can seem like a promising opportunity, but it's crucial to recognize that there are no guarantees. My experience serves as a stark reminder of this reality. I was drawn in by the allure of high returns and the persuasive marketing tactics employed by various brokers. Their polished presentations and testimonials made it seem easy to profit from cryptocurrency trading. Everything appeared to be legitimate. I received enticing messages about the potential for substantial gains, and the brokers seemed knowledgeable and professional. Driven by excitement and the fear of missing out, I invested a significant amount of my savings. The promise of quick profits overshadowed the red flags I should have noticed. I trusted these brokers without conducting proper research, which was a major mistake. As time went on, I realized that the promised returns were nothing but illusions. My attempts to withdraw funds were met with endless excuses and delays. It became painfully clear that I had fallen victim. The reality hit hard: my hard-earned money was gone, I lost my peace of mind and sanity. In my desperation, I sought help from a company called DEFTRECOUP. That was the turning point for me as I had a good conversation and eventually filed a complaint via DEFTRECOUP COM. They were quite delicate and ensured I got out of the most difficult situation of my life in one piece.
04.12.24 22:24 andreygagloev

When I first heard about Bitcoin back in 2018, I was skeptical. The idea of a decentralized, digital currency seemed too good to be true. But I was intrigued as I learned more about the technology behind it and its potential. I started small, investing just a few hundred dollars, dipping my toes into the cryptocurrency waters. At first, it was exhilarating to watch the value of my investment grow exponentially. I felt like I was part of the future, an early adopter of this revolutionary new asset. But that euphoria was short-lived. One day, I logged into my digital wallet only to find it empty - my Bitcoin had vanished without a trace. It turned out that the online exchange I had trusted had been hacked, and my funds were stolen. I was devastated, both financially and emotionally. All the potential I had seen in Bitcoin was tainted by the harsh reality that with decentralization came a lack of regulation and oversight. My hard-earned money was gone, lost to the ether of the digital world. This experience taught me a painful lesson about the price of trust in the uncharted territory of cryptocurrency. While the technology holds incredible promise, the risks can be catastrophic if you don't approach it with extreme caution. My Bitcoin investment gamble had failed, and I was left to pick up the pieces, wiser but poorer for having placed my faith in the wrong hands. My sincere appreciation goes to MUYERN TRUST HACKER. You are my hero in recovering my lost funds. Send a direct m a i l ( muyerntrusted ( @ ) mail-me ( . )c o m ) or message on whats app : + 1 ( 4-4-0 ) ( 3 -3 -5 ) ( 0-2-0-5 )
12.12.24 00:35 amandagregory

HOW TO HIRE A HACKER TO RECOVER STOLEN BITCOIN WITH FASTFUND RECOVERY
12.12.24 00:35 amandagregory

HOW TO HIRE A HACKER TO RECOVER STOLEN BITCOIN WITH FASTFUND RECOVERY... A few months ago, I made a huge mistake. I invested in what seemed like a legitimate crypto opportunity, only to find out I’d been scammed. I lost a significant amount of money, and the scam platform vanished overnight. I felt completely lost.I had heard of Fastfund Recovery and decided to reach out, even though I was skeptical. From the first conversation, they made me feel heard and understood. They explained the recovery process clearly and kept me updated every step of the way.Within weeks, Fastfund Recovery successfully to recovered my lost funds—something I honestly didn’t think was possible. Their team was professional, transparent, and genuinely caring. I can’t thank them enough for turning a nightmare into a hopeful outcome. If you’re in a similar situation, don’t hesitate to contact them. They truly deliver on their promises. Gmail::: fastfundrecovery8(@)gmail com .....Whatsapp ::: 1::807::::500::::7554
19.12.24 17:07 rebeccabenjamin

USDT RECOVERY EXPERT REVIEWS DUNAMIS CYBER SOLUTION It's great to hear that you've found a way to recover your Bitcoin and achieve financial stability, but I urge you to be cautious with services like DUNAMIS CYBER SOLUTION Recovery." While it can be tempting to turn to these companies when you’re desperate to recover lost funds, many such services are scams, designed to exploit those in vulnerable situations. Always research thoroughly before engaging with any recovery service. In the world of cryptocurrency, security is crucial. To protect your assets, use strong passwords, enable two-factor authentication, and consider using cold wallets (offline storage) for long-term storage. If you do seek professional help, make sure the company is reputable and has positive, verifiable reviews from trusted sources. While it’s good that you found a solution, it’s also important to be aware of potential scams targeting cryptocurrency users. Stay informed about security practices, and make sure you take every step to safeguard your investments. If you need help with crypto security tips or to find trustworthy resources, feel free to ask! [email protected] +13433030545 [email protected]
24.12.24 08:33 dddana

Отличная подборка сервисов! Хотелось бы дополнить список рекомендацией: нажмите сюда - https://airbrush.com/background-remover. Этот инструмент отлично справляется с удалением фона, сохраняя при этом высокое качество изображения. Очень удобен для быстрого редактирования фото. Было бы здорово увидеть его в вашей статье!
27.12.24 00:21 swiftdream

I lost about $475,000.00 USD to a fake cryptocurrency trading platform a few weeks back after I got lured into the trading platform with the intent of earning a 15% profit daily trading on the platform. It was a hell of a time for me as I could hardly pay my bills and got me ruined financially. I had to confide in a close friend of mine who then introduced me to this crypto recovery team with the best recovery SWIFTDREAM i contacted them and they were able to completely recover my stolen digital assets with ease. Their service was superb, and my problems were solved in swift action, It only took them 48 hours to investigate and track down those scammers and my funds were returned to me. I strongly recommend this team to anyone going through a similar situation with their investment or fund theft to look up this team for the best appropriate solution to avoid losing huge funds to these scammers. Send complaint to Email: info [email protected]
31.12.24 04:53 Annette_Phillips

There are a lot of untrue recommendations and it's hard to tell who is legit. If you have lost crypto to scam expresshacker99@gmailcom is the best option I can bet on that cause I have seen lot of recommendations about them and I'm a witness on their capabilities. They will surely help out. Took me long to find them. The wonderful part is no upfront fee till crypto is recover successfully that's how genuine they are.
04.01.25 04:56 florencestella

THE BEST CERTIFIED CRYPTOCURRENCY RECOVERY EXPERT DUNAMIS CYBER SOLUTION
04.01.25 04:57 florencestella

THE BEST CERTIFIED CRYPTOCURRENCY RECOVERY EXPERT DUNAMIS CYBER SOLUTION It sounds like you went through a very frustrating experience with Cointrack, where your access to your own funds was unjustly restricted for months without clear communication or a solution. The extended periods of account freezes, lack of transparency, and vague customer support responses would make anyone anxious. It’s understandable that you suspected the issue could be related to your login activity, but it’s surprising that something as minor as using the same Wi-Fi network could trigger such severe restrictions. I’m glad to hear that DUNAMIS CYBER SOLUTION Recovery was able to help you get your account unlocked and resolve the issue. It’s unfortunate that you had to seek third-party assistance, but it’s a relief that the situation was eventually addressed. If you plan on using any platforms like this again, you might want to be extra cautious, especially when dealing with sensitive financial matters. And if you ever need to share your experience to help others avoid similar issues, feel free to reach out. It might be helpful for others to know about both the pitfalls and the eventual resolution through services like DUNAMIS CYBER SOLUTION Recovery. [email protected] +13433030545 [email protected]
06.01.25 19:09 michaeljordan15

We now live in a world where most business transactions are conducted through Bitcoin and cryptocurrency. With the rapid growth of digital currencies, everyone seems eager to get involved in Bitcoin and cryptocurrency investments. This surge in interest has unfortunately led to the rise of many fraudulent platforms designed to exploit unsuspecting individuals. People are often promised massive profits, only to lose huge sums of money when they realize the platform they invested in was a scam. contact with WhatsApp: +1 (443) 859 - 2886 Email @ digitaltechguard.com Telegram: digitaltechguardrecovery.com website link:: https://digitaltechguard.com This was exactly what happened to me five months ago. I was excited about the opportunity to invest in Bitcoin, hoping to earn a steady return of 20%. I found a platform that seemed legitimate and made my investment, eagerly anticipating the day when I would be able to withdraw my earnings. When the withdrawal day arrived, however, I encountered an issue. My bank account was not credited, despite seeing my balance and the supposed profits in my account on the platform. At first, I assumed it was just a technical glitch. I thought, "Maybe it’s a delay in the system, and everything will be sorted out soon." However, when I tried to contact customer support, the line was either disconnected or completely unresponsive. My doubts started to grow, but I wanted to give them the benefit of the doubt and waited throughout the day to see if the situation would resolve itself. But by the end of the day, I realized something was terribly wrong. I had been swindled, and my hard-earned money was gone. The realization hit me hard. I had fallen victim to one of the many fraudulent Bitcoin platforms that promise high returns and disappear once they have your money. I knew I had to act quickly to try and recover what I had lost. I started searching online for any possible solutions, reading reviews and recommendations from others who had faced similar situations. That’s when I came across many positive reviews about Digital Tech Guard Recovery. After reading about their success stories, I decided to reach out and use their services. I can honestly say that Digital Tech Guard Recovery exceeded all my expectations. Their team was professional, efficient, and transparent throughout the process. Within a short time, they helped me recover a significant portion of my lost funds, which I thought was impossible. I am incredibly grateful to Digital Tech Guard Recovery for their dedication and expertise in helping me get my money back. If you’ve been scammed like I was, don’t lose hope. There are solutions, and Digital Tech Guard Recovery is truly one of the best. Thank you, Digital Tech Guard Recovery! You guys are the best. Good luck to everyone trying to navigate this challenging space. Stay safe.