Этот сайт использует файлы cookies. Продолжая просмотр страниц сайта, вы соглашаетесь с использованием файлов cookies. Если вам нужна дополнительная информация, пожалуйста, посетите страницу Политика файлов Cookie

Прямой эфир

Русский

English

Войти / Регистрация

Cryptocurrencies: 10257 / Markets: 91553

Market Cap: $ 3 323 488 113 862 / 24h Vol: $ 158 623 602 699 / BTC Dominance: 56.967066462551%

Н Новости

Методы оптимизации в машинном и глубоком обучении. От простого к сложному

В данной статье представлен обзор различных популярных (и не только) оптимизаторов, которые применяются в машинном и глубоком обучении, в частности для обучения нейронных сетей. Мы рассмотрим их основную идею и ключевые особенности, переходя от простых к более сложным концепциям. Помимо этого, в самом конце вы сможете найти большое количество дополнительных источников для более детального ознакомления с материалом.

Ноутбук с данным материалом можно загрузить на GitHub (rus).

Содержание

Пару слов про функции потерь
Классический градиентный спуск
Более быстрые и точные оптимизаторы
Обучение и визуализация оптимизаторов
Нарушение работы адаптивных методов со скользящим средним
Стратегии изменения скорости обучения
Работа с большими мини-пакетами
Проксимальные методы
Методы второго порядка
Дополнительные источники

Пару слов про функции потерь

Функции потерь можно разделить на выпуклые и невыпуклые. Первый вариант чаще всего встречается в классическом машинном обучении из-за относительной простоты моделей, а также из-за того, что у выпуклых функций локальный минимум по определению является и глобальным (но не обязательно единственным). Невыпуклые функции, в свою очередь, чаще всего встречаются в нейронных сетях из-за их высокой сложности и в данном случае поиск глобального минимума является трудной задачей, поэтому на практике здесь также используются методы из случая с выпуклыми функциями из-за их способности хорошо аппроксимировать стационарные точки в невыпуклом случае. Проще говоря, методы для выпуклого случая могут хорошо сходиться в локальном оптимуме для невыпуклого случая за приемлемое время, значение которого близко к глобальному.

Классический градиентный спуск

Начнём с того, что если градиент — это вектор наибыстрейшего возрастания функции, то антиградиент — вектор наибыстрейшего убывания, и именно при движении в данную сторону будет расположена минимальная ошибка модели. Тогда градиентный спуск можно определить как численный метод итеративной оптимизации для нахождения весов (коэффициентов) модели путём минимизации её ошибки, представленной в виде функции потерь. Пример работы данного алгоритма на линейной и логистической регрессий с нуля можно посмотреть здесь и здесь.

Градиентный спуск для выпуклого и невыпуклого случая

Алгоритм строится следующим образом:

1) изначально происходит инициализация весов с нулевыми значениями;
2) далее на основе установленных весов модель делает прогноз;
3) на основе полученного прогноза рассчитывается градиент ошибки, после чего происходит обновление весов в сторону антиградиента функции потерь;
4) шаги 2-3 повторяются до тех пор, пока градиент не станет нулевым, то есть пока алгоритм не сойдётся в минимуме (как правило, в данном случае используется критерий останова, например, пока разность градиентов на текущей и предыдущей итерациях не станет меньше заранее установленного порогового значения).

Если для вычисления градиентов функции потерь используется полный обучающий набор, то такой градиентный спуск называется пакетным. Не смотря на то, что пакетный градиентный спуск (batch gradient descent) практически всегда хорошо масштабируется в отношении количества признаков, данный алгоритм работает очень медленно на больших наборах данных и требует значительных затрат в виде дополнительной памяти для хранения всех градиентов.

Для увеличения производительности на больших датасетах применяются 2 подхода:

1) Мини-пакетный градиентный спуск (mini-batch gradient descent), когда на каждом шаге вычисление градиентов происходит на небольших случайных поднаборах (мини-пакетах). Обычно размер мини-пакета берётся в виде и может достигать нескольких десятков тысяч образцов: выбор размера зависит от особенностей задачи и применяемой модели.
2) Стохастический градиентный спуск (stochastic gradient descent), когда на каждом шаге из обучающего набора берётся лишь один образец. Очевидно, что такой вариант должен работать гораздо быстрее предыдущего, но с другой стороны, из-за ещё более стохастический природы данный алгоритм менее стабилен и может потребоваться больше итераций для сходимости, а также mini-batch дает прирост в производительности из-за аппаратной оптимизации матричных вычислений на GPU. Стоит также отметить, что на данный момент под стохастическим градиентный спуском очень часто подразумевается mini-batch.

В отличие от пакетного градиентного спуска, в данных случаях функция потерь будет снижаться скачками вверх-вниз, приближаясь к минимуму, но так и не достигнув его. В случае с мини-пакетным градиентным спуском функция потерь будет расположена чуть ближе к минимуму за счёт меньшего размера скачков. С другой стороны, в отличие от стохастического градиентного спуска, ему может быть труднее пройти локальные минимумы в невыпуклом случае.

Более быстрые и точные оптимизаторы

Помимо того, что градиентный спуск в своём классическом представлении плохо подходит для невыпуклых случаев из-за вышеописанных проблем, может также возникнуть проблема с "седловыми точками", когда на поверхности функции потерь в виде седла имеются точки, в которых значение функции максимально по одним направлениям и минимально по другим, то есть в данных точках будет практически нулевое снижение градиентов и они ошибочно могут быть приняты моделью за оптимум. Поэтому для быстрого поиска оптимального решения используются более интересные стохастические (mini-batch) оптимизации, про самые популярные из которых сейчас и пойдёт речь.

Momentum

Предположим, что со склона с кочками катится мяч, который сначала будет двигаться медленно, но по мере накопления кинетической энергии его скорость будет расти, что ему поможет преодолеть небольшие кочки и остановить своё движение в более глубокой. Именно данный принцип лежит в основе моментной оптимизации. Momentum принимает во внимание значения предыдущих градиентов, которые используются для определения направления и скорости перемещения в пространстве параметров v_t (называется вектором первого момента, поскольку масса в данном случае равна 1), а для предотвращения её быстрого увеличения используется коэффициент ослабления импульса $\beta$ , который отвечает за силу влияния предыдущего градиента на текущий, то есть выступает в качестве механизма трения мяча о поверхность: значение 0 означает высокое трение, а 1 его отсутствие. Обычно значение $\beta$ устанавливается 0.9.

Алгоритм обновления параметров моментной оптимизации

$v_t \leftarrow \beta v_{t-1} - \alpha dw_{t-1}$

$w_t \leftarrow w_{t-1} + v_t$

Momentum способен решить сразу две проблемы: плохую обусловленность матрицы Гессе и дисперсию стохастического градиента. С другой стороны, из-за вычисления градиента функции потерь в локальной позиции модель может колебаться вокруг локальных минимумов, что в свою очередь увеличивает время схождения.

Хотя во многих статьях обозначается как , а как , на данный момент нет единого стандарта и в разных статьях можно встретить для них разные обозначения, но для унификации во всех примерах будут использоваться следующие обозначения: — это первый момент или ещё по-другому экспоненциально взвешенное скользящее среднее градиентов, а — второй момент или экспоненциально взвешенное скользящее среднее квадратов градиентов, однако в случае AdaGrad это просто квадрат градиентов.

Nesterov momentum

Для решения вышеописанной проблемы применяется небольшая оптимизация, суть которой заключается в вычислении градиентов не в локальной позиции, а чуть дальше в направлении момента. Другими словами, функция потерь будет снижаться не в текущей позиции, а в которой якобы должна оказаться в будущем, следуя направлению импульса.

Алгоритм обновления параметров моментной оптимизации Нестерова

$v_t \leftarrow \beta v_{t-1} - \alpha d(w_{t-1} + \beta v_{t-1} )$

$w_t \leftarrow w_{t-1} + v_t$

Схема Momentum vs Nesterov momentum

Такой подход позволяет сойтись гораздо быстрее и чуть ближе к оптимуму, однако он всё ещё может быть чувствительным в отношении одних направлений пространства параметров и нечувствительным в других из-за трудностей подбора оптимальной скорости обучения. Ниже будут представлены оптимизации градиентного спуска с адаптивной скоростью обучения.

AdaGrad

Adaptive Gradient является одной из первых оптимизаций градиентного спуска с адаптивным шагом, в которой снижается градиент вдоль самых крутых направлений. Проще говоря, на каждом шаге происходит обновление параметров модели с учётом значений как предыдущих градиентов, так и их квадратов.

Алгоритм обновления параметров AdaGrad

$s_t \leftarrow s_{t-1} + dw_{t-1}^2$

$w_t \leftarrow w_{t-1} - \frac{\alpha}{\sqrt{s_t + \epsilon}} dw_{t-1}$

Где $\epsilon = 1e-8$ — сглаживающий параметр для избегания деления на ноль.

Такой простой подход позволяет алгоритму быстро начать обучение, а затем замедлить его, когда градиент становится меньше или меняет знак. Однако на практике AdaGrad хорошо справляется с выпуклыми случаями, а вот при обучении нейронных сетей нередко останавливается слишком рано из-за быстрого снижения скорости обучения, так и не достигнув глобального оптимума.

RMSProp

RMSProp (Root Mean Square Propagation) — модификация AdaGrad, адаптированная для лучшей работы в невыпуклом случае. Основная идея заключается в изменении способа агрегирования градиента на экспоненциально взвешенное скользящее среднее. Другими словами, вместо накопления всех квадратов градиента с начала обучения, накапливаются квадраты градиента только из самых последних итераций.

Алгоритм обновления параметров RMSProp

$s_t \leftarrow \beta s_{t-1} + (1 - \beta) dw_{t-1}^2$

$w_t \leftarrow w_{t-1} - \frac{\alpha}{\sqrt s_t + \epsilon} dw_{t-1}$

В целом, RMSProp является крайне эффективной оптимизацией, но не самой лучшей. Например, могут возникнуть трудности обучения в многомерных пространствах из-за проблем с масштабированием градиентов в разных направлениях.

Adam и его модификации

Adam (Adaptive Moment Estimation) объединяет в себе концепции Momentum и RMSProp, практически являясь серебряной пулей в задачах стохастической оптимизации. Как можно заметить, расчёт моментов в Adam очень схож с Momentum и RMSProp за исключением того, что к ним применяется поправка на смещение. В целом, благодаря таким улучшениям Adam сходится быстрее и лучше предшественников, а также более устойчив к подбору гиперпараметров, что делает его более стабильным решением в большинстве случаев.

Алгоритм обновления параметров Adam

$v_t \leftarrow \beta_1 v_{t-1} + (1 - \beta_1) dw_{t-1}$

$s_t \leftarrow \beta_2 s_{t-1} + (1 - \beta_2) dw_{t-1}^2$

$w_t \leftarrow w_{t-1} - \alpha \frac{v_t}{\sqrt s_t + \epsilon}$

Поправка на смещение:

$v_t \leftarrow \frac{v_t}{1 - \beta_1^t}$

$s_t \leftarrow \frac{s_t}{1 - \beta_2^t}$

Где $\beta_1 = 0.9, \ \ \beta_2 = 0.99$ используются по умолчанию.

С другой стороны, данный алгоритм более сложен в анализе и может быть чувствителен к шуму, что может привести к проблемам со сходимостью, а также он требует больших объемов памяти, поскольку хранит не только параметры модели, но а также информацию о градиентах и накопленном импульсе. Помимо этого, у Adam и всех предыдущих алгоритмов есть ещё один неприятный недостаток: если продолжить обучение модели после прерывания в некоторой точке, придётся восстанавливать не только веса модели из данной точки, но а также и всю информацию о накопленных параметрах.

Однако время не стоит на месте и были разработаны модификации Adam, призванные устранить в той или иной степени недостатки, описанные выше. К наиболее популярным и интересным модификациям можно отнести следующие:

AdaMax использует экспоненциально взвешенную норму бесконечности для обновления вектора второго момента, то есть скорость обучения изменяется, основываясь максимальной величине градиента в истории:

$s_t \leftarrow max(\beta_2 s_{t-1} |dw_{t-1}|)$

Nadam (Nesterov-accelerated Adaptive Moment Estimation) использует другую поправку на смещение для вектора первого момента:

$\hat v_t \leftarrow \frac{(1 - \beta_1^t) dw_{t-1}}{1 - \Pi_{i=1}^{t} \beta_1^i} + \frac{\beta_1^{t+1} v_t}{1 - \Pi_{i=1}^{t+1} \beta_1^i}$

AdamW добавляет L2-регуляризацию к функции потерь и при обновлении весов:

$$w_t \leftarrow w_{t-1} - \frac{\alpha v_t}{\sqrt s_t + \epsilon} + \lambda w_{t-1}$

Yogi обновляет вектор второго момента с учётом разности второго момента и квадрата градиента:

$s_t \leftarrow s_{t-1} - (1 - \beta_2) sign(s_{t-1} - dw_{t-1}^2) dw_{t-1}^2$

Adan (Adaptive Nesterov Momentum) использует модифицированный New Nesterov Momentum (NME позволяет избежать дополнительных затрат на вычисление градиента в точке экстраполяции) для оценки первого и второго моментов, что позволяет значительно ускорить сходимость и найти приближённую точку первого порядка с заданной точностью ϵ. Схема работы алгоритма выглядит следующим образом:

Обучение и визуализация оптимизаторов

Для наглядности рассмотрим небольшой пример работы различных оптимизаторов на данных Boston Housing. Сначала мы создадим простую нейросеть в Pytorch и обучим её на всех тренировочных данных, на которых после же оценим снижение потерь оптимизаторов на каждой итерации. Также для любителей Keras мы обучим простую нейросеть на мини-пакетах, но уже оценим снижение потерь на тестовом наборе.

Загрузка и подготовка датасета

import pandas as pd
import matplotlib.pyplot as plt
from sklearn.preprocessing import StandardScaler
from sklearn.model_selection import train_test_split

df_path = "/content/drive/MyDrive/BostonHousing.csv"
boston = pd.read_csv(df_path)
print(boston)


        crim    zn  indus  chas    nox     rm   age     dis  rad  tax  \
0    0.00632  18.0   2.31     0  0.538  6.575  65.2  4.0900    1  296   
1    0.02731   0.0   7.07     0  0.469  6.421  78.9  4.9671    2  242   
2    0.02729   0.0   7.07     0  0.469  7.185  61.1  4.9671    2  242   
3    0.03237   0.0   2.18     0  0.458  6.998  45.8  6.0622    3  222   
4    0.06905   0.0   2.18     0  0.458  7.147  54.2  6.0622    3  222   
..       ...   ...    ...   ...    ...    ...   ...     ...  ...  ...   
501  0.06263   0.0  11.93     0  0.573  6.593  69.1  2.4786    1  273   
502  0.04527   0.0  11.93     0  0.573  6.120  76.7  2.2875    1  273   
503  0.06076   0.0  11.93     0  0.573  6.976  91.0  2.1675    1  273   
504  0.10959   0.0  11.93     0  0.573  6.794  89.3  2.3889    1  273   
505  0.04741   0.0  11.93     0  0.573  6.030  80.8  2.5050    1  273   

     ptratio       b  lstat  medv  
0       15.3  396.90   4.98  24.0  
1       17.8  396.90   9.14  21.6  
2       17.8  392.83   4.03  34.7  
3       18.7  394.63   2.94  33.4  
4       18.7  396.90   5.33  36.2  
..       ...     ...    ...   ...  
501     21.0  391.99   9.67  22.4  
502     21.0  396.90   9.08  20.6  
503     21.0  396.90   5.64  23.9  
504     21.0  393.45   6.48  22.0  
505     21.0  396.90   7.88  11.9  

[506 rows x 14 columns]

print(boston.isna().sum())


crim       0
zn         0
indus      0
chas       0
nox        0
rm         5
age        0
dis        0
rad        0
tax        0
ptratio    0
b          0
lstat      0
medv       0
dtype: int64

boston.dropna(inplace=True)

X, y = boston.iloc[:, :-1].values, boston.iloc[:, -1].values
X_train, X_test, y_train, y_test = train_test_split(X, y, test_size=0.3, random_state=0)

X_train_s = StandardScaler().fit_transform(X_train)
X_test_s = StandardScaler().fit_transform(X_test)

Параметры нейросети

nn_params = {'in_features': X.shape[1], 'h1': 16, 'h2': 8, 'out': 1}

Сравнение оптимизаторов Pytorch на тренировочных данных

from torch import nn, optim, FloatTensor, relu, manual_seed


class TorchNN(nn.Module):
    def __init__(self, in_features, h1, h2, out):
        super(TorchNN, self).__init__()
        self.fc1 = nn.Linear(in_features, h1)
        self.fc2 = nn.Linear(h1, h2)
        self.fc3 = nn.Linear(h2, out)

    def forward(self, x):
        x = relu(self.fc1(x))
        x = relu(self.fc2(x))
        x = self.fc3(x)

        return x


def torch_losses(data, model, optim_cls, optim_params, num_epochs=100):
    losses = []
    X_train, y_train = data
    criterion = nn.MSELoss()
    optimizer = optim_cls(model.parameters(), **optim_params)

    for epoch in range(num_epochs):
        y_pred = model.forward(X_train)
        loss = criterion(y_pred, y_train)
        losses.append(loss.item())

        optimizer.zero_grad()
        loss.backward()
        optimizer.step()

    return losses


manual_seed(0)
X_train_s_tensor = FloatTensor(X_train_s)
y_train_tensor = FloatTensor(y_train).view(-1, 1)

torch_optimizers = [
    (optim.SGD, 'SGD', {'lr': 0.001}),
    (optim.SGD, 'Momentum', {'lr': 0.001, 'momentum': 0.9}),
    (optim.SGD, 'Nesterov Momentum', {'lr': 0.001, 'momentum': 0.9, 'nesterov': True}),
    (optim.Adagrad, 'Adagrad', {'lr': 0.01}),
    (optim.RMSprop, 'RMSprop', {'lr': 0.01}),
    (optim.Adam, 'Adam', {'lr': 0.01}),
    (optim.Adamax, 'Adamax', {'lr': 0.01}),
    (optim.AdamW, 'AdamW', {'lr': 0.01}),
    (optim.NAdam, 'NAdam', {'lr': 0.01})
    ]

# Visualization
plt.figure(figsize=(14, 6))

for optim_cls, optim_name, optim_params in torch_optimizers:
    nn_model = TorchNN(**nn_params)
    t_losses = torch_losses((X_train_s_tensor, y_train_tensor), nn_model, optim_cls, optim_params)
    plt.plot(range(len(t_losses)), t_losses, label=f'{optim_name}')

plt.title('Pytorch optimizers comparison on train data')
plt.xlabel('Epoch')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
plt.show()

Сравнение оптимизаторов Keras на тестовых данных

from keras import optimizers
from keras.layers import Dense
from keras.models import Sequential
from keras.utils import set_random_seed


def create_keras_nn(optimizer, in_features, h1, h2, out):
    model = Sequential()
    model.add(Dense(input_shape=(in_features,), units=h1, activation='relu'))
    model.add(Dense(input_shape=(h1,), units=h2, activation='relu'))
    model.add(Dense(units=out))
    model.compile(optimizer=optimizer, loss='mse', metrics=['mse'])

    return model


def keras_losses(train_data, test_data, optimizers, nn_params, num_epochs=10):
    losses = []
    X_train, y_train = train_data
    X_test, y_test = test_data

    for name, optimizer in optimizers:
        model = create_keras_nn(optimizer, **nn_params)
        model_history = model.fit(X_train, y_train, batch_size=32, epochs=num_epochs,
                                  verbose=0, validation_data=(X_test, y_test))
        losses.append((name, model_history.history['val_loss']))

    return losses


set_random_seed(0)

keras_optimizers = [
    ('SGD', optimizers.SGD(learning_rate=0.001)),
    ('Momentum', optimizers.SGD(learning_rate=0.001, momentum=0.9)),
    ('Nesterov Momentum', optimizers.SGD(learning_rate=0.001, momentum=0.9, nesterov=True)),
    ('Adagrad', optimizers.Adagrad(learning_rate=0.01)),
    ('RMSprop', optimizers.RMSprop(learning_rate=0.01)),
    ('Adam', optimizers.Adam(learning_rate=0.01)),
    ('Adamax', optimizers.Adamax(learning_rate=0.01)),
    ('AdamW', optimizers.AdamW(learning_rate=0.01)),
    ('Nadam', optimizers.Nadam(learning_rate=0.01))
    ]


plt.figure(figsize=(14, 6))

k_losses = keras_losses((X_train_s, y_train), (X_test_s, y_test), keras_optimizers, nn_params)

for name, k_loss in k_losses:
    plt.plot(k_loss, label=name + ' test Loss')

plt.title('Keras optimizers comparison on test data')
plt.xlabel('Epoch')
plt.ylabel('Loss')
plt.legend()
plt.show()

Промежуточные выводы

Поскольку SDG, Momentum и Nesterov momentum являются менее стабильными алгоритмами и больше всего зависят от начальных значений learning rate, для них была задана меньшая скорость обучения, чем для остальных методов. На первом графике видно, что даже в таком случае эти алгоритмы немного подвержены колебаниям, хотя и быстро сошлись. Второй же график хорошо демонстрирует как обучение на мини-пакетах значительно ускоряет сходимость алгоритмов. В случае с AdaGrad возникла классическая проблема резкого снижения скорости обучения, которую в данном случае можно легко решить, установив изначально более высокое значение. А вот RMSprop хорошо сработал в обоих случаях и даже лучше Adam-подобных оптимизаторов.

Отсюда следует интересный вывод, что адаптивные методы могут сходиться быстрее предшественников далеко не в каждой ситуации, но зато они гораздо стабильнее минимизируют функцию потерь. Конкретно в данном случае это означает, что если мы установим одинаковые произвольные значения learning rate для всех оптимизаторов, то неадаптивные методы зачастую будут снижаться с очень большими рывками и могут не сойтись вообще, в то время как адаптивные методы будут более плавно сходиться, хоть и медленно.

Стоит добавить, что данный пример лишь в очередной раз доказывает, что нет универсального оптимизатора, который являлся бы лучшим выбором для всех задач машинного обучения, поскольку многое зависит от самых разных факторов, включая природу данных, сложность модели и цели обучения. Однако это не отменяет тот факт, что в случае со сложными ландшафтами потерь адаптивные методы практически всегда будут превосходить простые стохастические оптимизаторы не только в плане стабильности, но и конечно же в скорости. Поэтому в большинстве ситуаций RMSprop и особенно семейство оптимизаторов Adam можно рассматривать в качестве хорошего стартового решения.

Нарушение работы адаптивных методов со скользящим средним

Поскольку работа всех диагональных адаптивных методов в той или иной степени основана на использовании покоординатного learning rate, то в случае, когда последовательность s_t перестаёт монотонно не убывать, алгоритм не может нормально сойтись к локальным минимумам. Как правило, такая ситуация означает приближение к критическим точкам и происходит при уменьшении $dw_{t-1}^2$ в сравнении с предыдущей накопленной историей с точностью до некоторой константы.

Данную проблему можно устранить путём наделения таких алгоритмов долговременной памятью о прошлых градиентах для исключения отрицательных регуляризаторов подобно тому, как это реализовано в AMSGrad. Проще говоря, выполняется условие $s_t >= s_{t-1}$ , что возможно благодаря простому трюку:

$\hat s_0 = 0, \ \hat s_t = max(\hat s_{t-1}, s_t) \ and \ \hat S_t = \ diag(\hat s_t)$

Однако стоит иметь в виду, что в таком случае требуются дополнительные расходы памяти, что может быть особенно проблематично для моделей с разреженными параметрами. Решить данную проблему можно за счёт использования непостоянных $\beta_1^t$ и $\beta_2^t$ , что было предложено в алгоритме AdamNC:

$v_t \leftarrow \beta_1^t v_{t-1} + (1 - \beta_1^t) dw_{t-1} \\ s_t \leftarrow \beta_2^t s_{t-1} + (1 - \beta_2^t) dw_{t-1}^2$

Помимо того, что такой подход не требует изменения структуры оригинального Adam, он также позволяет достичь хороших показателей сходимости.

Однако в работе Tran Thi Phuong и Le Trieu Phong было показано, что проблема в доказательстве сходимости AMSGrad заключается в обработке гиперпараметров, рассматривая их как равные, в то время как это не совсем верно. Так авторами был представлен контрпример в контексте простой задачи выпуклой оптимизации, который показывает эту проблему. Алгоритм должен сходиться согласно следующей лемме:

$R(T) \leq \sum_{i=1}^{d} \sum_{t=1}^{T} \frac{\sqrt{\hat{s}_{t,i}}}{2\alpha_t(1 - \beta_1^t)} ((w_{t,i} - w^*_{i})^2 - (w_{t+1,i} - w^*_{i})^2) + \\ + \sum_{i=1}^{d} \sum_{t=1}^{T} \frac{\alpha_t}{1 - \beta_1} \frac{v^2_{t,i}}{\sqrt{\hat{s}_{t,i}}} + \sum_{i=1}^{d} \sum_{t=2}^{T} \frac{\beta_1^t \sqrt{\hat{s}_{t-1,i}}}{2\alpha_{t-1}(1 - \beta_1)} (w_{t,i} - w^*_{i})^2$

Однако проблема заключается в равенстве, которое на самом деле может быть как положительным, так и отрицательным:

$(w_{t,i} - w^*_{i})^2 - (w_{t+1,i} - w^*_{i})^2$

Поэтому авторы представили новое доказательство сходимости для AMSGrad, а также алгоритм AdamX на его основе, который учитывает различия в гиперпараметрах и позволяет избежать проблемы выше. Решение выглядит следующим образом:

$\hat s_1 = s_1, \ \hat s_t = max \left(\frac{(1 - \beta_1^t)^2}{(1 - \beta_1^{t-1})^2} \hat s_{t-1}, s_t \right) \ \ if \ \ t \geq 2, \ and \ \hat S_t = diag(\hat s_t)$

Но стоит иметь в виду, что как и в случае с AMSGrad, AdamX также требует дополнительных расходов памяти.

Стратегии изменения скорости обучения

Как можно было заметить, скорость обучения является одним из ключевых параметров в градиентном спуске, которая может оказывать значительное влияние на сходимость и конечную ошибку модели. Помимо вышеописанных стратегий сокращения скорости обучения, ещё одними из самых популярных являются следующие:

1) $\alpha = \frac{1}{1 + decay \_ rate * t} \alpha_0 \ - \$ плавное затухание;
2) $\alpha = k^t \alpha_0 \ - \$ экспоненциальное затухание;
3) $\alpha = \frac{k}{\sqrt{t}} \alpha_0$ , где $k \ -$ константа, а $t \ -$ число итераций;
4) дискретное сокращение, когда после заданного количества итераций шаг уменьшается с определённым размером.

Не смотря на то, что на сегодняшний день в алгоритмах на основе градиентного спуска используется автоматическое снижение скорости обучения как в библиотеке sckit-learn, так и в библиотеках глубокого обучения, подбор learning rate всё ещё нужно выполнять аккуратно: алгоритм может преждевременно выйти на плато либо вовсе разойтись. Пример приведён на графике ниже.

Другим подходом в изменении скорости обучения является её резкое увеличение, чтобы "вытолкнуть" модель из возможных локальных минимумов, в которых она может застрять в процессе обучения. Такой подход называется Warm Restart и включает в себя циклическое изменение скорости обучения: начиная с высокого значения, скорость постепенно снижается по определённому правилу, а затем после достижения минимального значения она снова повышается. Это особенно полезно, когда модель сходится к неоптимальному решению из-за плохой инициализации или когда пространство параметров содержит множество локальных минимумов.

Одним из популярных методов, использующий такой подход, является CosineAnnealingWarmRestarts, в котором скорость обучения регулируется на основе "косинусного отжига" с перезапусками, возвращаясь к своему начальному значению:

$η_t = η_{min} + \frac{1}{2}(η_{max} - η_{min})(1 + \cos(\frac{T_{cur}}{T_{i}}\pi))$

Где:

$\eta_t$ — скорость обучения в момент времени ;
$\eta_{\text{max}}$ — начальная скорость обучения;
$\eta_{\text{min}}$ — минимальная скорость обучения;
$T_{\text{cur}}$ — количество эпох с момента последнего перезапуска;
а — количество эпох между двумя перезапусками.

С полным списком "планировщиков" скорости обучения можно ознакомиться здесь и здесь.

Работа с большими мини-пакетами

Рассмотрим ситуацию, когда нам необходимо обучить сложную нейронную сеть на больших данных с использованием нескольких графических процессоров (GPU). Одно из самых простых решений будет заключаться в вычислении стохастических градиентов для каждого батча отдельно на разных GPU с их последующим усреднением по всем GPU на каждом этапе обновления параметров модели.

По сути, такой подход равносилен обучению с одним огромным батчем и на первый взгляд может показаться оптимальным, но не всё так просто, поскольку это может привести к такому явлению как generalization gap, при котором возникает ухудшение обобщающей способности модели (иногда значительное). Почему так происходит? При использовании батча большого размера оптимизатор начинает лучше распознавать ландшафт функции потерь для определённой выборки, что увеличивает шансы скатиться в узкие локальные минимумы с низкой обобщающей способностью. Тогда даже при незначительном сдвиге ландшафта (при так называемом distributional shift, когда происходит переход от тренировочной выборки к тестовой) значение функции потерь может резко увеличиться. Проще говоря, большие батчи могут приводить к переобучению.

С другой стороны широкие локальные минимумы более устойчивы к изменениям в ландшафте функции потерь и способны обеспечить лучшую обобщающую способность, а для того чтобы в них попадать можно использовать оптимизаторы с более точным динамическим подбором learning rate, про которые далее пойдёт речь. Однако перед этим стоит добавить, что использование маленьких батчей в оптимизации также является не самой хорошей идеей, поскольку это может привести к более шумным оценкам градиента и в конечном счёте к недообучению модели.

LARS

Первым на очереди будет Layer-wise Adaptive Rate Scaling (LARS), использующий momentum в качестве базового алгоритма. Его основная идея заключается в подборе скорости обучения не для каждого нейрона или всей нейросети, а для каждого слоя отдельно. Проще говоря, обновление весов происходит с учётом локального learning rate, рассчитанного как отношение нормы весов к сумме нормы весов и градиентов. Работа алгоритма показана ниже:

Не смотря на то, что такой метод позволяет использовать батчи большого размера для обучения без потери качества, он плохо справляется со сложными моделями, где каждый слой имеет важное значение для общей производительности, например, с моделями внимания, такими как BERT. Это связано с тем, что если в одном из слоёв сети наблюдается нестабильное снижение градиентов, то к этому слою будет применяться меньшая скорость обучения, а поскольку LARS стремится синхронизировать обновления по всем слоям, то скорости обучения для более "стабильных" слоёв также будут снижены для предотвращения расхождения в обучении. Следовательно, более "стабильные" слои будут обновляться не так быстро, как могли бы, что в итоге значительно замедлит обучение всей модели и окажет негативное влияние на конечный результат.

LAMB

В ответ на это был разработан более продвинутый оптимизатор, известный как Layer-wise Adaptive Moments Based optimizer (LAMB), который можно рассматривать как применение LARS к оптимизатору Adam. Основное различие заключается в использовании двойной стратегии нормализации:

1) Нормализация каждого измерения (или параметра модели) относительно квадратного корня из второго момента, используемого в Adam. Это означает, что каждый параметр модели обновляется с учётом его собственной истории изменений, что помогает более точно настраивать веса модели.
2) Применение послойной нормализации. Другими словами, обновления параметров модели происходят с учётом масштаба каждого слоя в нейронной сети. Это помогает предотвратить слишком большие изменения в весах слоёв и избежать нестабильности в процессе обучения.

Алгоритм работает следующим образом:

Такой подход позволил значительно улучшить процесс обучения модели BERT даже на батчах большого размера без потери точности. Так команде Google Brain удалось сократить время обучения с 3 дней до всего лишь 76 минут, увеличив размер пакета до предела памяти модуля TPUv3. Более того, как и другие оптимизаторы, LAMB имеет ряд модификаций, способных не только ускорить обучение (как в NVLAMB благодаря предварительной нормализации градиентов), но и сделать его ещё более стабильным в плане сходимости (как в N-LAMB и NN-LAMB).

Прокcимальные методы

Проксимальные методы — это класс алгоритмов, предназначенных для решения задач выпуклой оптимизации негладких функций. Основная идея таких методов заключается в замене исходной сложной задачи оптимизации на серию более простых подзадач, аппроксимируя новое решение к текущему. Другими словами, данные методы представляют собой обобщение проективных градиентных методов.

Метод проксимальной минимизации

Может быть полезен в тех случаях, когда трудно минимизировать функцию потерь , но легко (или хотя бы проще) минимизировать её регуляризованную версию, то есть плюс квадратичная величина. Данный алгоритм имеет множество разных интерпретаций в зависимости от целей использования. Наиболее популярными являются следующие:

1) Регуляризация Тихонова позволяет находиться $w_{k+1}$ недалеко от и ускоряет сходимость, особенно при использовании метода сопряжённого градиента. Это обусловлено тем, что наличие регуляризации обеспечивает сильную выпуклость задачи:

$w_{k+1} = \text{argmin} \left\{ f(w) + \frac{1}{2\alpha_k} \| w - w_k \|^2 \right\} = prox_{\alpha_k f}(w_k)$

2) Градиентный поток обеспечивает сходимость в точке минимума из любой начальной точки при $t \to \infty$ :

$\frac {d}{dt} w(t) = - \nabla f(w(t))$

Решив данное дифференциальное уравнение с помощью прямой схемы Эйлера, получим:

$w_{k+1} = w_k - \alpha \nabla f(w_k)$

Однако такое решение менее стабильно, чем с использованием обратной схемы Эйлера. Тогда задача приобретает вид:

$\frac{w_{k+1} - w_k}{\alpha} = - \nabla f(w_{k+1})$

Поскольку уравнение представлено в неявном виде, а его левая часть является по сути градиентом функции g(w^*) в точке $w_{k+1}$ , тогда для выпуклого случая:

$\nabla (f(w^*) + g(w^*))(w_{k+1}) = 0 \Rightarrow \\ \Rightarrow w_{k+1} = \text{argmin} \left\{ f(w^*) + \frac{1}{2\alpha_k} \| w^* - w_k \|^2 \right\} = prox_{\alpha_k f}(w_k)$

Также стоит отметить, что идея градиентного потока может быть обобщена на случаи, когда не дифференцируется с помощью субградиентного дифференциального включения:

$\frac {d}{dt} w(t) \in - \partial f(w(t))$

3) Итеративное уточнение основано на идее асимптотически исчезающей регуляризации Тихонова и используется для решения линейных уравнений вида с использованием факторизации Холецкого для $X + \frac{1}{\alpha} I$ .

Рассмотрим задачу минимизации квадратичной функции:

$f(w) = \frac{1}{2} w^T X w - y^T w$

где $X \in S_+^n$ (множество симметричных положительных полуопределённых x матриц). Такая задача эквивалентна решению системы линейных уравнений Xw = y . Когда несингулярно, то единственным решением является $w = X^{-1} y$ . Такую же проблему можно заметить в методе наименьших квадратов. Проксимальный оператор для при w_k можно выразить аналитически:

$prox_{\alpha_k f}(w_k) = \text{argmin} \left\{ \frac{1}{2} w^T X w - y^T w + \frac{1}{2} \| w - w_k \|^2 \right\} = \\ = \left(X + \frac{1}{\alpha} I \right)^{-1} \left(y + \frac{1}{\alpha} w_k \right)$

Переписав данное выражение, получим:

$w_{k+1} = w_k + \left(X + \frac{1}{\alpha} I \right)^{-1} (y - X w_k)$

Проксимальный градиентный метод (PGM)

Применяется для решения проблемы вида $min \rightarrow f(w) + g(w)$ , где является гладкой (дифференцируемой), а негладкой функцией, для которой существует быстрый проксимальный оператор. Тогда, выполнив градиентный шаг по и проксимальный по , получим итеративный процесс вида:

$w_{k+1} = prox_{\alpha_k g} (w_k - \alpha_k \nabla f(w_k))$

Ещё такой процесс называется forward-backward splitting, где forward относится к шагу градиента, а backward — к проксимальному шагу.

PGM также имеет различные интерпретации:

1) Majorization-minimization используется для решения проблемы вида:

$min \rightarrow q_{\alpha}(w, w_k) = \frac{1}{2} \| w - (w_k \ - \alpha_k \nabla f(w_k)) \|^2 + \alpha g(w)$

А процесс обновления $w_{k+1}$ выглядит следующим образом:

$w_{k+1} = \text{argmin} \ q_{\alpha}(w, w_k)$

2) Fixed point iteration основано на идее, что существует фиксированная точка , которая является решением $min \rightarrow f(w) + g(w)$ лишь в том случае, когда она является точкой оператора forward-backward:

$(I + \alpha \partial g)^{-1} (I - \alpha \nabla f)$

Тогда решение приобретает вид:

$w^* = (I + \alpha \partial g)^{-1} (I - \alpha \nabla f) (w^*) = prox_{\alpha g} (w^* - \alpha_k \nabla f(w^*))$

3) Forward-backward интегрирование градиентного потока представляет собой метод численного интегрирования дифференциального уравнения градиентного потока, в котором используется прямой Шаг Эйлера для дифференцируемой части и обратный шаг Эйлера для возможно недифференцируемой части . Если исходить предположения, что является также дифференцируемой, то систему градиентного потока можно представить в виде:

$\frac {d}{dt} w(t) = - \nabla f(w(t)) - \nabla g(w(t))$

Тогда получим процесс обновления, называемый forward-backward splitting:

$w_{k+1} = (I + \alpha \nabla g)^{-1} (I - \alpha \nabla f) w_k$

Также стоит добавить, что существует вариант ускоренного проксимального градиентного метода, который включает в себя этап экстраполяции:

$z_{k+1} = w_k + p_k (w_k - w_{k-1}) \\ w_{k+1} = prox_{\alpha_k g} (z_{k+1} - \alpha_k \nabla f(z_{k+1}))$

где p_k — параметр экстраполяции, а одна из самых простых схем его расчёта выглядит следующим образом:

$p_k = \frac {k}{k + 3}$

ISTA (Iterative Shrinkage(Soft)-Thresholding Algorithm)

Данный метод можно рассматривать как обновление проксимального градиента, применяемое к L1-регуляризованной задаче наименьших квадратов:

$\|Xw - y\|^2 + \lambda \|w\| \rightarrow min$

Тогда прокс-оператор для l1-нормы будет выглядеть следующим образом:

$prox_{\lambda \alpha} (w) = argmin \left\{\frac{1}{2 \alpha} \|w - w^* \|^2 + \lambda \|w^* \| \right\} = \\ = argmin \left\{\sum_{i=1}^d \left[ \frac{1}{2 \alpha} (w_i - w_i^*) + \lambda |w_i^*| \right] \right\} = T_{\lambda \alpha} (w)$

где $T_{\lambda \alpha} (w)$ — оператор с плавным установлением порога, который для одномерной задачи является решением со следующим правилом:

$T_{\lambda \alpha} (w_i) = \begin{cases} w_i - \lambda \alpha, \ \ w_i \geq \lambda \alpha \\ 0, \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ |w_i| \leq \lambda \alpha \\ w_i + \lambda \alpha, \ \ w_i \leq - \lambda \alpha \\ \end{cases}$

Отсюда получим градиентный шаг обновления:

$w_{k+1} = T_{\lambda \alpha_k} (w_k - \alpha_k X^T (Xw_k- y))$

Как можно заметить, данный метод позволяет получить разреженную модель, поскольку часть координат будет зануляться в случае $|w_i| \leq \alpha$ , что особенно полезно в задачах компьютерного зрения и обработки сигналов. Однако ISTA в чистом виде имеет низкую скорости сходимости, поэтому на практике используются его различные модификации. Например, FISTA (от слова Fast), основанное на ускорении Нестерова, где используется дополнительный шаг экстраполяции:

$t_{k+1} = \frac{1 + \sqrt{1 + 4t_k^2}}{2} \\ z_{k+1} = w_k + \frac{t_k - 1}{t_{k+1}} (w_k - w_{k-1}) \\ w_{k+1} = prox_{\lambda \alpha} (z_{k+1}) = T_{\lambda \alpha_k}(z_{k+1} - \alpha_k \nabla f(z_{k+1}))$

Такой подход позволил достичь скорости сходимости O(1/k^2) вместо O(1/k) как в ISTA. К слову, на сегодняшний день FISTA также имеет ряд модификаций, делающих его работу более стабильной и быстрой в ряде случаев.

Методы второго порядка

Методы оптимизации второго порядка — это алгоритмы, которые используют информацию о вторых производных (гессиане) функции потерь для более быстрого и точного нахождения точек минимума с очень неровным и сложным ландшафтом потерь.

Вторая производная характеризует скорость изменения градиента функции потерь за счёт измерения её кривизны, то есть позволяет оценить ожидаемое улучшение от шага градиентного спуска. На примере квадратичной функции это будет означать следующее:

1) Если кривизна отрицательная (отрицательное значение второй производной), то функция потерь снижается быстрее, чем ожидалось на основе прогноза градиента. Это может привести к более быстрому достижению минимума, но также увеличивает риск его перепрыгнуть при использовании больших шагов.
2) Если кривизна нулевая (нулевое значение второй производной), то градиент точно указывает на изменение функции потерь. В этом случае, градиентный спуск будет эффективно минимизировать функцию потерь, поскольку нет ни ускорения, ни замедления в изменении её значений.
3) Если кривизна положительная (положительное значение второй производной), то функция потерь снижается медленнее, чем ожидалось на основе прогноза градиента. Это говорит о том, что при использовании слишком больших шагов можно не только замедлить процесс сходимости, но и увеличить значение функции потерь, отдаляясь от оптимального решения.

Метод Ньютона

Использует разложение в ряд Тейлора второго порядка для приближения функции f(w) в окрестностях точки :

$f(w + t) \approx f(w) + \nabla f(w)t + \frac{1}{2} \nabla ^ 2 (w) t^2$

Приравняв к нулю $\nabla f(w + t)$ , получим оптимальное решение, то есть направление спуска:

$0 = \frac{d f(w + t)}{dt} = \nabla f(w) + \nabla ^ 2 f(w) \Rightarrow \\ \Rightarrow t = - \frac {\nabla f(w)}{\nabla ^ 2 f(w)} = - H^{-1}(w) \nabla f(w)$

Тогда получим итеративный процесс обновления параметров следующего вида:

$w_{k+1} = w_k + t_k = w_k - \alpha_k H^{-1} (w_k) \nabla f (w_k)$

Если шаг $\alpha_k = 1$ , то это классический метод Ньютона, а при другом размере шага $\alpha_k \in (0, 1)$ получим дэмпированный (damped) метод Ньютона.

Такой подход обеспечивает квадратичную скорость сходимости в окрестностях оптимума за счёт более правильного оценивания кривизны линий уровня функции потерь, что делает его также устойчивым к плохо обусловленным задачам (задачам, в которых небольшое изменение в начальных данных может привести к значительным ошибкам в решении).

Однако метод Ньютона применим только в случае положительно определённой матрицы , иначе говоря, если не все собственные значения гессиана положительны вблизи седловой точки, то обновление параметров может произойти в неверном направлении. Одно из самых простых решений данной проблемы заключается в регуляризации гессиана через прибавление константы $\lambda$ :

$w_{k+1} = w_k + t = w_k - \alpha_k [H^{-1} (w_k) + \lambda I] \nabla f (w_k)$

Помимо этого, у метода Ньютона есть ещё 2 серьёзных недостатка, которые делают его неприменимым к нейронным сетям с большим количеством параметров:

1) Чувствительность к выбору начальной точки. Квадратичная скорость сходимости обеспечивается лишь в близи оптимума, поэтому если начальная точка расположена далеко от него, то алгоритм будет сходиться медленней и может не сойтись вообще. Отсюда следует необходимость в подборе шага $\alpha_k$ как и в случае с градиентным спуском. Частично данную проблему можно решить также с применением различных видов регуляризацией, например, такой как кубической.
2) Высокая требовательность к вычислительным ресурсам. Поскольку число элементов гессиана равно квадрату числа параметров , затраты памяти для их хранения составят , а вычислительная сложность алгоритма будет .

Далее будут рассмотрены альтернативы, использующие некоторые преимущества метода Ньютона, но при этом не требующие таких больших вычислительных затрат.

Метод сопряжённых градиентов

В отличие от метода наискорейшего спуска, в данном методе используется спуск в сопряжённых направлениях. Это означает, что в отличие от метода наискорейшего спуска, где направление спуска всегда совпадает с антиградиентом текущей точки и может привести к зигзагообразным траекториям, в данном случае направления спуска выбираются таким образом, чтобы они были сопряжёнными (ортогональными) относительно гессиана функции потерь, то есть текущее направление выбирается с учётом предыдущего значения:

$d_k = \nabla f(w) + \beta_k d_{t-1}$

Направления d_k и $d_{k-1}$ являются сопряжёнными, если выполняется условие $d_k^T H d_{k-1}=0$ , а коэффициент $\beta_k$ определяет какую часть направления $d_{k-1}$ следует прибавить к текущему направлению поиска.

Найти сопряжённые направления можно, просто получив собственные вектора для $\beta_k$ , однако это вычислительно неэффективно, поэтому для расчёта $\beta_k$ обычно используются следующие методы:

1) Метод Флетчера-Ривса:

$\beta_k = \frac{\nabla f(w_k)^T \nabla f(w_k)}{\nabla f(w_{k-1})^T \nabla f(w_{k-1})}$

2) Метод Полака-Рибьера:

$\beta_k = \frac{(\nabla f(w_k) - \nabla f(w_{k-1}))^T \nabla f(w_k)}{\nabla f(w_{k-1})^T \nabla f(w_{k-1})}$

Отсюда следует, что для квадратичной поверхности сопряжённость направлений гарантирует поиск минимума не более чем за поисков в -мерном пространстве. Если же функция потерь выходит за рамки простой квадратичной формы и становится более сложной, то не всегда возможно обеспечить сохранение минимума вдоль ранее определённых сопряжённых направлений. Поэтому в нелинейном случае сопряжённых градиентов периодически выполняется процедура рестарта, когда алгоритм заново начинает поиск вдоль направления неизменённого градиента, что в итоге позволяет лучше адаптироваться к изменениям в ландшафте функции потерь и более эффективно находить точки минимума.

BFGS (Broyden–Fletcher–Goldfarb–Shanno)

Является одним из самых известных квазиньютоновских методов и основан на аппроксимации обратного гессиана матрицей , которая итеративно уточняется в ходе обновлений низкого ранга. Обозначив приближение гессиана симметричной положительно определённой матрицей B_k размера $d \ \text{x} \ d$ , получим функцию потерь аналогичную в методе Ньютона:

$m(w_{k+1}) \approx f(w_{k+1}) + \nabla f(w_{k+1})t + \frac{1}{2} \nabla ^ 2 (w_{k+1}) t^2$

Основываясь на информации из последнего шага, $B_{k+1}$ должен удовлетворять условию, при котором градиент $m(w_{k+1})$ соответствует градиенту на двух последних итерациях w_k и $w_{k+1}$ :

$\nabla m(w_k - w_{k+1}) = \nabla m(- \alpha_k d_k) = \nabla f(w_{k+1}) - B_{k+1} \alpha_k d_k = \nabla f(w_k)$

Отсюда получаем уравнение секущей, которое ещё известно как квазиньютоновское условие:

$B_{k+1} \alpha_k d_k = \nabla f(w_{k+1}) - \nabla f(w_k)$

Перепишем данное уравнение в более удобной форме, сделав несколько упрощений:

$B_{k+1} s_k = y_k \\ s_k = (w_{k+1} - w_k) = \alpha_k d_k \\ y_k = \nabla f(w_{k+1}) - \nabla f(w_k)$

Согласно данному уравнению, матрица $B_{k+1}$ может преобразовать s_k в y_k только в случае, если они будут удовлетворять условию кривизны:

Когда выполняется данное условие, уравнение секущей всегда имеет решение, а для однозначного определения вводится дополнительное условие, что среди всех симметричных матриц, удовлетворяющих уравнению секущей, $B_{k+1}$ будет расположено наиболее близко к текущей матрице B_k . Другими словами, мы получим задачу вида:

$min \rightarrow \|B - B_k \|$

Которую можно решить достаточно просто с использованием взвешенной нормы Фробениуса:

$\|A \|_W = \|W^{1/2} A W^{1/2} \|_F$

Где $\|\cdot \|_F$ определяется через $\|C \|^2_F = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n c^2_{ij}$ , а матрица весов может быть выбрана в качестве любой при выполнении условия W y_k = s_k . Определим как обратный усреднённый гессиан $\overline G_k^{-1}$ , где:

$\overline G_k = \int_{0}^{1} \nabla^2 f(w_k + \alpha_k d_k) d \lambda$

С помощью теоремы Тейлора можно показать, что:

$y_k = \overline G_k \alpha_k d_k = \overline G_k s_k$

При таком выборе матрицы взвешенная норма Фробениуса является безразмерной, что является желательным свойством, поскольку позволяет избежать зависимости от единиц измерения при решении задачи минимизации. Тогда получим решение, которое называется методом DFP (Davidon-Fletcher-Powell):

$B_{k+1} = (I - \frac{y_k s_k^T}{y_k^T s_k}) B_K (I - \frac{s_k y_k^T}{y_k^T s_k}) + \frac{y_k y_k^T}{y_k^T s_k}$

Поскольку в квазиньютоновских методах нас больше интересует обратный гессиан, перепишем данную формулу в более удобном виде. Для этого определим $M=B_k^{-1}$ и воспользуемся обобщением формулы Шермана–Моррисона–Вудбери:

$B^{-1} = A^{-1} - A^{-1} U (I + V^T A^{-1} U) V^T A^{-1}$

В таком случае решение DFP приобретает следующий вид:

$M_{k+1} = M_k - \frac{M_k y_k y_k^T M_k}{y_k^T M_k y_k} + \frac{s_k s_k^T}{y_k^T s_k}$

В этом и заключается фундаментальная идея квазиньютоновского обновления: вместо того, чтобы пересчитывать приближённые гессианы (или обратные гессианы) с нуля на каждой итерации, мы применяем простую модификацию, которая объединяет самую последнюю наблюдаемую информацию о функции потерь с информацией из текущего приближения гессиана.

Однако формулу обновления из алгоритма DFP можно сделать ещё более эффективной, проделав аналогичные процедуры с M_k вместо B_k . В итоге получим обновление BFGS:

$M_{k+1} = (I - \frac{s_k y_k^T}{y_k^T s_k}) M_k (I - \frac{y_k s_k^T}{y_k^T s_k}) + \frac{s_k s_k^T}{y_k^T s_k}$

Мы также можем вывести версию алгоритма BFGS, которая работает с аппроксимацией гессиана B_k , а не M_k , если снова воспользуемся обобщением формулы Шермана–Моррисона–Вудбери:

$B_{k+1} = B_k - \frac{B_k s_k s_k^T B_k}{s_k^T B_k s_k} + \frac{y_k y_k^T}{y_k^T s_k}$

Тогда направление спуска будет выглядеть следующим образом:

$d_k = - M_k \nabla f(w_k)$

А параметры будут обновляться по следующему правилу:

$w_{k+1} = w_k + \alpha_k d_k$

Подобно методу сопряжённых градиентов, в алгоритме BFGS создаётся серия линейных поисков на основе информации о кривизне функции, однако важное отличие заключается в том, что в данном случае достижение точки, максимально приближённой к истинному минимуму вдоль заданного направления, не так критично. Это делает данный алгоритм более эффективным, поскольку не требуется тратить дополнительное время на уточнение результатов каждого линейного поиска, однако для хранения матрицы требуется O(d^2) памяти из-за чего данный алгоритм также малопригоден для моделей с большим количеством параметров.

SR1 (Symmetric Rank-1)

Представляет собой более простое обновление ранга 1, которое сохраняет симметрию матрицы и удовлетворяет уравнению секущей, но при этом исчезают гарантии, что обновлённая матрица B_k (или M_k ) будет положительно определённой. Тем не менее, данный метод может быть полезен, когда стандартные предположения BFGS не выполняются или когда необходимо использовать методы определения доверительной области.

Симметричное обновление ранга 1, которое также известно как формула Бройдена, имеет общий вид:

$B_{k+1} = B_k + \sigma v v^T$

Где $\sigma \in \{-1, 1 \}$ , а также выбирается вместе с $B_{k+1}$ таким образом, чтобы удовлетворять уравнению секущей. Подставляя обновление выше в данное уравнение, получим:

$y_k = B_k s_k + [\sigma v v^T] s_k$

Поскольку член в скобках является скалярным, должно быть кратно y_k - B_k s_k для некоторого скалярного значения $\delta$ :

$y_k - B_k s_k = \sigma \delta^2 [s_k^T (y_k - B_k s_k)] (y_k - B_k s_k)$

Данное уравнение выполняется только в том случае, когда:

$\sigma = sign [s_k^T (y_k - B_k s_k)] \\ \delta = \pm |s_k^T (y_k - B_k s_k)|^{-1/2}$

Следовательно, формула обновления для B_k приобретает следующий вид:

$B_{k+1} = B_k + \frac{(y_k - B_k s_k) (y_k - B_k s_k)^T}{(y_k - B_k s_k)^T s_k}$

Применив обобщение формулы Шермана–Моррисона–Вудбери, получим соответствующее обновление для обратной аппроксимации гессиана M_k :

$M_{k+1} = M_k + \frac{(s_k - M_k y_k) (s_k - M_k y_k)^T}{(s_k - M_k y_k)^T y_k}$

Не смотря на менее стабильную работу в сравнении с DFP и BFGS, преимущество SR1 заключается в создании неопределённых аппроксимаций гессиана, что позволяет получить больше информации о локальной кривизне функции потерь и лучше исследовать пространство для поиска направлений, которые могут привести к лучшему решению.

L-BFGS (Limited-memory BFGS)

Данная модификация использует только последние (обычно от 3 до 20) пар векторов $\{s_i, y_i \}$ и начальное приближение M_0 для аппроксимации M_k , что позволяет иметь линейные затраты O(md) не только на память, но и на итерацию. Чтобы лучше разобраться как это происходит, сначала перепишем формулы обновления BFGS в упрощённом виде:

$w_{k+1} = w_k + \alpha_k M_k \nabla f (w_k) \\ M_{k+1} = V_k^T M_k V_k + \rho_k s_k s_k^T \\ V_k = I - \rho_k y_k s_k^T, \ \rho_k = \frac{1}{y_k^T s_k}$

Тогда приближение M_k можно представить в следующем виде:

$\begin{align} M_k &= (V_{k-1}^{T} ... V_{k-m}^{T}) M_0 (V_{k-m} ... V_{k-1}) + \\ &+ \rho_{k-m} (V_{k-1}^T ... V_{k-m+1}^{T}) s_{k-m} s_{k-m}^T (V_{k-m+1} ... V_{k-1}) + \\ &+ \ ... \\ &+ \rho_{k-1} s_{k-1} s_{k-1}^T \end{align}$

Из этого выражения можно вывести рекурсивный алгоритм для эффективного вычисления произведения $M_k \nabla f(w_k)$ , который называется L-BFGS two-loop recursion:

$\begin{align*} & q \leftarrow \nabla f(w_k) \\ & \textbf{for } i \ = \ k - 1, \ k - 2, ..., \ k - m \\ & \hspace{1.3cm} \alpha_i \leftarrow \rho_i s_i^T q \\ & \hspace{1.3cm} q \leftarrow q - \alpha_i y_i \\ \\ & r \leftarrow M_0 q \\ & \textbf{for } i \ = \ k - m, \ k - m + 1, ..., \ k - 1 \\ & \hspace{1.3cm} \beta \leftarrow \rho_i y_i^T r \\ & \hspace{1.3cm} r \leftarrow r + s_i (\alpha_i - \beta) \\ \\ & M_k \nabla f(w_k) = r \end{align*}$

Преимущество данной рекурсии заключается в том, что умножение на исходную матрицу M_0 изолировано от остальных вычислений, что позволяет свободно выбирать эту матрицу и изменять её между итерациями. Методом выбора M_0 , показавшим себя хорошо на практике, является установка $M_0 = \gamma_k I$ , где:

$\gamma_k = \frac{s_{k-1}^T y_{k-1}}{y_{k-1}^T y_{k-1}}$

В данном случае $\gamma_k$ позволяет произвести оценку размера истинного гессиана по последнему направлению поиска. Это гарантирует хорошую масштабируемость направления поиска d_k , в результате чего на большинстве итераций $\alpha_k = 1$ . Теперь можно сделать формальное определение алгоритма L-BFGS следующим образом:

$\begin{align*} & \text{Choose starting point } w_0 \\ & m > 0, \ k \leftarrow 0 \\ & \textbf{repeat until convergence} \\ & \hspace{1.3cm} M_0 = \gamma_k I \\ & \hspace{1.3cm} d_k = - M_k \nabla f(w_k) \hspace{0.4cm} \text{from algorithm above} \\ \\ & \hspace{1.3cm} w_{k+1} = w_k + \alpha_k d_k, \hspace{0.3cm} \text{where} \ \alpha_k \ \text{satisfies the Wolfe's conditions} \\ & \hspace{1.3cm} r \leftarrow r + s_i (\alpha_i - \beta) \\ & \hspace{1.3cm} \textbf{if } k > m: \\ & \hspace{2.6cm} \text{Discard the vector pair } \{s_{k-m}, y_{k-m} \} \ \text{from storage} \\ & \hspace{1.3cm} s_k \leftarrow w_{k+1} - w_k \\ & \hspace{1.3cm} y_k = \nabla f(w_{k+1}) - \nabla f(w_k) \\ & \hspace{1.3cm} k \leftarrow k + 1 \end{align*}$

Shampoo

Вышеописанные методы всё ещё уступают в скорости и потреблении памяти обычным градиентным методам, особенно при обучении больших глубоких нейросетей. Отчасти это связано с тем, что они требуют точного, а не стохастического вычисления градиентов. В идеале нам хотелось бы иметь такой алгоритм, который совмещает в себе точность алгоритмов второго порядка и скорость алгоритмов первого порядка. В попытке приблизиться к этой цели появился алгоритм Shampoo, который применяется для стохастической оптимизации не только в матричных, но и в тензорных пространствах. Рассмотрим его основную идею.

Начнём с того, что данный алгоритм относится к так называемым предобусловленным методам (в контексте машинного обучения предобуславливание можно рассматривать как процесс изменения условий задачи таким образом, чтобы алгоритмы могли работать с ней более точно и эффективно). Вместо использования обратного гессиана явным образом в Shampoo используется произведение градиентов для формирования предобусловленной матрицы, которая выполняет роль, схожую с гессианом, храня информацию о кривизне поверхности функции потерь. По сути, данный алгоритм представляет собой многомерный аналог AdaGrad, а для матричного случая его принцип работы выглядит следующим образом:

На каждой итерации из матриц L_t размера x и R_t размера x , содержащих информацию о втором моменте из накопленных градиентов, формируются две предобусловленные матрицы, которые потом умножаются на градиентную матрицу слева направо соответственно. Каждая из предобусловленных матриц работает только с одним измерением градиента, сокращаясь по остальным, что позволяет неплохо ускорить процесс обучения. Объём пространства, который Shampoo использует в данном случае, составляет O(m^2 + n^2) вместо O(m^2 n^2) в сравнении с полноматричными методами. Более того, поскольку предобуславливание включает в себя обращение матрицы (и чаще всего спектральное разложение), объём вычислений для построения левого и правого предобуславливателей также сокращается с O(m^3 n^3) до O(m^3 + n^3) .

Однако shampoo всё ещё требует больших вычислительных затрат, что особенно выделяется при работе с полносвязными и эмбэддинг слоями. Основная сложность возникает при вычислении p-х корней матриц и $R_t^{-1/4}$ , которые были реализованы с использованием спектрального разложения (SVD), что может занимать много времени. Поэтому для ускоренной работы Shampoo было разработано несколько улучшений:

1) Вычисление предобуславливателей раз в несколько сотен шагов. Поскольку в большинстве случаев структура функции потерь не изменяется существенно с каждым шагом, то и особого эффекта на снижение точности произойти не должно.
2) Использование эффективных итерационных методов для вычисления p-х корней вместо SVD, например, применение модификаций на основе метода Шура-Ньютона.
3) Использование одного из предобуславливателей $L_t^{-1/2p}$ или $R_t^{-1/2q}$ , где .
4) Применение параллельного обучения на GPU.

Стоит отметить, что данные улучшения без проблем можно использовать для Shampoo в его общей форме, который применим к тензорам произвольной размерности. В фреймворках глубокого обучения реализована именно тензорная форма данного алгоритма, а его принцип работы выглядит следующим образом:

Проследив историю развития методов второго порядка, становится очевидно, что с появлением таких алгоритмов как Shampoo, их применение становится всё более привлекательным с практической точки зрения. На мой скромный взгляд, в будущем их популярность будет расти и они будут играть значимую роль не только в глубоком обучении, но и в других областях инженерии и науки.

Дополнительные источники

Статьи:

«Adam: A Method for Stochastic Optimization», Diederik P. Kingma, Jimmy Ba;
«Decoupled Weight Decay Regularization», Ilya Loshchilov, Frank Hutter;
«Incorporating Nesterov Momentum into Adam», Timothy Dozat;
«Adaptive Methods for Nonconvex Optimization», Manzil Zaheer, Sashank J. Reddi, Devendra Sachan, Satyen Kale, Sanjiv Kumar;
«Adan: Adaptive Nesterov Momentum Algorithm for Faster Optimizing Deep Models», Xingyu Xie, Pan Zhou, Huan Li, Zhouchen Lin, Shuicheng Yan;
«On the Convergence of Adam and Beyond», Sashank J. Reddi, Satyen Kale, Sanjiv Kumar;
«On the Convergence Proof of AMSGrad and a New Version», Tran Thi Phuong, Le Trieu Phong;
«SGDR: Stochastic Gradient Descent with Warm Restarts», Ilya Loshchilov, Frank Hutter;
«Optimization for deep learning: theory and algorithms», Ruoyu Sun;
«Large Batch Training of Convolutional Networks», Yang You, Igor Gitman, Boris Ginsburg;
«Large Batch Optimization for Deep Learning: Training BERT in 76 minutes», Yang You, Jing Li, Sashank Reddi, Jonathan Hseu, Sanjiv Kumar, Srinadh Bhojanapalli, Xiaodan Song, James Demmel, Kurt Keutzer, Cho-Jui Hsieh;
«Proximal Algorithms», Neal Parikh, Stephen Boyd;
«A Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm», for Linear Inverse Problems, Amir Beck, and Marc Teboulle;
«Improving Fast Iterative Shrinkage-Thresholding Algorithm: Faster, Smarter and Greedier», Jingwei Liang, Tao Luo, Carola-Bibiane Schönlieb;
«Resurrecting the sigmoid in deep learning through dynamical isometry: theory and practice», Jeffrey Pennington, Samuel S. Schoenholz, Surya Ganguli;
«Numerical Optimization», Jorge Nocedal, Stephen J. Wright;
«A regularized limited-memory BFGS method for unconstrained minimization problems», Shinji SUGIMOTO and Nobuo YAMASHITA;
«Shampoo: Preconditioned Stochastic Tensor Optimization», Vineet Gupta, Tomer Koren, Yoram Singer;
«Scalable Second Order Optimization for Deep Learning», Rohan Anil, Vineet Gupta, Tomer Koren, Kevin Regan, Yoram Singer;
«A Schur-Newton method for the matrix p'th root and its inverse», C.-H. Guo and N. J. Higham.

Видео:

Обзор и реализация популярных ML-алгоритмов 🡆

Источник

Теги

Категория

Новости

Дата

10 мая 2024 г.

07.09.23 16:24 CherryTeam

Cherry Team atlyginimų skaičiavimo programa yra labai naudingas įrankis įmonėms, kai reikia efektyviai valdyti ir skaičiuoti darbuotojų atlyginimus. Ši programinė įranga, turinti išsamias funkcijas ir patogią naudotojo sąsają, suteikia daug privalumų, kurie padeda supaprastinti darbo užmokesčio skaičiavimo procesus ir pagerinti finansų valdymą. Štai keletas pagrindinių priežasčių, kodėl Cherry Team atlyginimų skaičiavimo programa yra naudinga įmonėms: Automatizuoti ir tikslūs skaičiavimai: Atlyginimų skaičiavimai rankiniu būdu gali būti klaidingi ir reikalauti daug laiko. Programinė įranga Cherry Team automatizuoja visą atlyginimų skaičiavimo procesą, todėl nebereikia atlikti skaičiavimų rankiniu būdu ir sumažėja klaidų rizika. Tiksliai apskaičiuodama atlyginimus, įskaitant tokius veiksnius, kaip pagrindinis atlyginimas, viršvalandžiai, premijos, išskaitos ir mokesčiai, programa užtikrina tikslius ir be klaidų darbo užmokesčio skaičiavimo rezultatus. Sutaupoma laiko ir išlaidų: Darbo užmokesčio valdymas gali būti daug darbo jėgos reikalaujanti užduotis, reikalaujanti daug laiko ir išteklių. Programa Cherry Team supaprastina ir pagreitina darbo užmokesčio skaičiavimo procesą, nes automatizuoja skaičiavimus, generuoja darbo užmokesčio žiniaraščius ir tvarko išskaičiuojamus mokesčius. Šis automatizavimas padeda įmonėms sutaupyti daug laiko ir pastangų, todėl žmogiškųjų išteklių ir finansų komandos gali sutelkti dėmesį į strategiškai svarbesnę veiklą. Be to, racionalizuodamos darbo užmokesčio operacijas, įmonės gali sumažinti administracines išlaidas, susijusias su rankiniu darbo užmokesčio tvarkymu. Mokesčių ir darbo teisės aktų laikymasis: Įmonėms labai svarbu laikytis mokesčių ir darbo teisės aktų, kad išvengtų baudų ir teisinių problemų. Programinė įranga Cherry Team seka besikeičiančius mokesčių įstatymus ir darbo reglamentus, užtikrindama tikslius skaičiavimus ir teisinių reikalavimų laikymąsi. Programa gali dirbti su sudėtingais mokesčių scenarijais, pavyzdžiui, keliomis mokesčių grupėmis ir įvairių rūšių atskaitymais, todėl užtikrina atitiktį reikalavimams ir kartu sumažina klaidų riziką. Ataskaitų rengimas ir analizė: Programa Cherry Team siūlo patikimas ataskaitų teikimo ir analizės galimybes, suteikiančias įmonėms vertingų įžvalgų apie darbo užmokesčio duomenis. Ji gali generuoti ataskaitas apie įvairius aspektus, pavyzdžiui, darbo užmokesčio paskirstymą, išskaičiuojamus mokesčius ir darbo sąnaudas. Šios ataskaitos leidžia įmonėms analizuoti darbo užmokesčio tendencijas, nustatyti tobulintinas sritis ir priimti pagrįstus finansinius sprendimus. Pasinaudodamos duomenimis pagrįstomis įžvalgomis, įmonės gali optimizuoti savo darbo užmokesčio strategijas ir veiksmingai kontroliuoti išlaidas. Integracija su kitomis sistemomis: Cherry Team programinė įranga dažnai sklandžiai integruojama su kitomis personalo ir apskaitos sistemomis. Tokia integracija leidžia automatiškai perkelti atitinkamus duomenis, pavyzdžiui, informaciją apie darbuotojus ir finansinius įrašus, todėl nebereikia dubliuoti duomenų. Supaprastintas duomenų srautas tarp sistemų padidina bendrą efektyvumą ir sumažina duomenų klaidų ar neatitikimų riziką. Cherry Team atlyginimų apskaičiavimo programa įmonėms teikia didelę naudą - automatiniai ir tikslūs skaičiavimai, laiko ir sąnaudų taupymas, atitiktis mokesčių ir darbo teisės aktų reikalavimams, ataskaitų teikimo ir analizės galimybės bei integracija su kitomis sistemomis. Naudodamos šią programinę įrangą įmonės gali supaprastinti darbo užmokesčio skaičiavimo procesus, užtikrinti tikslumą ir atitiktį reikalavimams, padidinti darbuotojų pasitenkinimą ir gauti vertingų įžvalgų apie savo finansinius duomenis. Programa Cherry Team pasirodo esanti nepakeičiamas įrankis įmonėms, siekiančioms efektyviai ir veiksmingai valdyti darbo užmokestį. https://cherryteam.lt/lt/
08.10.23 01:30 davec8080

The "Shibarium for this confirmed rug pull is a BEP-20 project not related at all to Shibarium, SHIB, BONE or LEASH. The Plot Thickens. Someone posted the actual transactions!!!! https://bscscan.com/tx/0xa846ea0367c89c3f0bbfcc221cceea4c90d8f56ead2eb479d4cee41c75e02c97 It seems the article is true!!!! And it's also FUD. Let me explain. Check this link: https://bscscan.com/token/0x5a752c9fe3520522ea88f37a41c3ddd97c022c2f So there really is a "Shibarium" token. And somebody did a rug pull with it. CONFIRMED. But the "Shibarium" token for this confirmed rug pull is a BEP-20 project not related at all to Shibarium, SHIB, BONE or LEASH.
24.06.24 04:31 tashandiarisha

Web-site. https://trustgeekshackexpert.com/ Tele-Gram, trustgeekshackexpert During the pandemic, I ventured into the world of cryptocurrency trading. My father loaned me $10,000, which I used to purchase my first bitcoins. With diligent research and some luck, I managed to grow my investment to over $350,000 in just a couple of years. I was thrilled with my success, but my excitement was short-lived when I decided to switch brokers and inadvertently fell victim to a phishing attack. While creating a new account, I received what seemed like a legitimate email requesting verification. Without second-guessing, I provided my information, only to realize later that I had lost access to my email and cryptocurrency wallets. Panic set in as I watched my hard-earned assets disappear before my eyes. Desperate to recover my funds, I scoured the internet for solutions. That's when I stumbled upon the Trust Geeks Hack Expert on the Internet. The service claimed to specialize in recovering lost crypto assets, and I decided to take a chance. Upon contacting them, the team swung into action immediately. They guided me through the entire recovery process with professionalism and efficiency. The advantages of using the Trust Geeks Hack Expert Tool became apparent from the start. Their team was knowledgeable and empathetic, understanding the urgency and stress of my situation. They employed advanced security measures to ensure my information was handled safely and securely. One of the key benefits of the Trust Geeks Hack Expert Tool was its user-friendly interface, which made a complex process much more manageable for someone like me, who isn't particularly tech-savvy. They also offered 24/7 support, so I never felt alone during recovery. Their transparent communication and regular updates kept me informed and reassured throughout. The Trust Geeks Hack Expert Tool is the best solution for anyone facing similar issues. Their swift response, expertise, and customer-centric approach set them apart from other recovery services. Thanks to their efforts, I regained access to my accounts and my substantial crypto assets. The experience taught me a valuable lesson about online security and showed me the incredible potential of the Trust Geeks Hack Expert Tool. Email:: trustgeekshackexpert{@}fastservice{.}com WhatsApp + 1.7.1.9.4.9.2.2.6.9.3
26.06.24 18:46 Jacobethannn098

LEGAL RECOUP FOR CRYPTO THEFT BY ADRIAN LAMO HACKER
26.06.24 18:46 Jacobethannn098

Reach Out To Adrian Lamo Hacker via email: [email protected] / WhatsApp: ‪+1 (909) 739‑0269‬ Adrian Lamo Hacker is a formidable force in the realm of cybersecurity, offering a comprehensive suite of services designed to protect individuals and organizations from the pervasive threat of digital scams and fraud. With an impressive track record of recovering over $950 million, including substantial sums from high-profile scams such as a $600 million fake investment platform and a $1.5 million romance scam, Adrian Lamo Hacker has established itself as a leader in the field. One of the key strengths of Adrian Lamo Hacker lies in its unparalleled expertise in scam detection. The company leverages cutting-edge methodologies to defend against a wide range of digital threats, including phishing emails, fraudulent websites, and deceitful schemes. This proactive approach to identifying and neutralizing potential scams is crucial in an increasingly complex and interconnected digital landscape. Adrian Lamo Hacker's tailored risk assessments serve as a powerful tool for fortifying cybersecurity. By identifying vulnerabilities and potential points of exploitation, the company empowers its clients to take proactive measures to strengthen their digital defenses. This personalized approach to risk assessment ensures that each client receives targeted and effective protection against cyber threats. In the event of a security incident, Adrian Lamo Hacker's rapid incident response capabilities come into play. The company's vigilant monitoring and swift mitigation strategies ensure that any potential breaches or scams are addressed in real-time, minimizing the impact on its clients' digital assets and reputation. This proactive stance towards incident response is essential in an era where cyber threats can materialize with alarming speed and sophistication. In addition to its robust defense and incident response capabilities, Adrian Lamo Hacker is committed to empowering its clients to recognize and thwart common scam tactics. By fostering enlightenment in the digital realm, the company goes beyond simply safeguarding its clients; it equips them with the knowledge and awareness needed to navigate the digital landscape with confidence and resilience. Adrian Lamo Hacker services extend to genuine hacking, offering an additional layer of protection for its clients. This may include ethical hacking or penetration testing, which can help identify and address security vulnerabilities before malicious actors have the chance to exploit them. By offering genuine hacking services, Adrian Lamo Hacker demonstrates its commitment to providing holistic cybersecurity solutions that address both defensive and offensive aspects of digital protection. Adrian Lamo Hacker stands out as a premier provider of cybersecurity services, offering unparalleled expertise in scam detection, rapid incident response, tailored risk assessments, and genuine hacking capabilities. With a proven track record of recovering significant sums from various scams, the company has earned a reputation for excellence in combating digital fraud. Through its proactive and empowering approach, Adrian Lamo Hacker is a true ally for individuals and organizations seeking to navigate the digital realm with confidence.
04.07.24 04:49 ZionNaomi

For over twenty years, I've dedicated myself to the dynamic world of marketing, constantly seeking innovative strategies to elevate brand visibility in an ever-evolving landscape. So when the meteoric rise of Bitcoin captured my attention as a potential avenue for investment diversification, I seized the opportunity, allocating $20,000 to the digital currency. Witnessing my investment burgeon to an impressive $70,000 over time instilled in me a sense of financial promise and stability.However, amidst the euphoria of financial growth, a sudden and unforeseen oversight brought me crashing back to reality during a critical business trip—I had misplaced my hardware wallet. The realization that I had lost access to the cornerstone of my financial security struck me with profound dismay. Desperate for a solution, I turned to the expertise of Daniel Meuli Web Recovery.Their response was swift . With meticulous precision, they embarked on the intricate process of retracing the elusive path of my lost funds. Through their unwavering dedication, they managed to recover a substantial portion of my investment, offering a glimmer of hope amidst the shadows of uncertainty. The support provided by Daniel Meuli Web Recovery extended beyond mere financial restitution. Recognizing the imperative of fortifying against future vulnerabilities, they generously shared invaluable insights on securing digital assets. Their guidance encompassed crucial aspects such as implementing hardware wallet backups and fortifying security protocols, equipping me with recovered funds and newfound knowledge to navigate the digital landscape securely.In retrospect, this experience served as a poignant reminder of the critical importance of diligence and preparedness in safeguarding one's assets. Thanks to the expertise and unwavering support extended by Daniel Meuli Web Recovery, I emerged from the ordeal with renewed resilience and vigilance. Empowered by their guidance and fortified by enhanced security measures, I now approach the future with unwavering confidence.The heights of financial promise to the depths of loss and back again has been a humbling one, underscoring the volatility and unpredictability inherent in the digital realm. Yet, through adversity, I have emerged stronger, armed with a newfound appreciation for the importance of diligence, preparedness, and the invaluable support of experts like Daniel Meuli Web Recovery.As I persist in traversing the digital landscape, I do so with a judicious blend of vigilance and fortitude, cognizant that with adequate safeguards and the backing of reliable confidants, I possess the fortitude to withstand any adversity that may arise. For this, I remain eternally appreciative. Email Danielmeuliweberecovery @ email . c om WhatsApp + 393 512 013 528
13.07.24 21:13 michaelharrell825

In 2020, amidst the economic fallout of the pandemic, I found myself unexpectedly unemployed and turned to Forex trading in hopes of stabilizing my finances. Like many, I was drawn in by the promise of quick returns offered by various Forex robots, signals, and trading advisers. However, most of these products turned out to be disappointing, with claims that were far from reality. Looking back, I realize I should have been more cautious, but the allure of financial security clouded my judgment during those uncertain times. Amidst these disappointments, Profit Forex emerged as a standout. Not only did they provide reliable service, but they also delivered tangible results—a rarity in an industry often plagued by exaggerated claims. The positive reviews from other users validated my own experience, highlighting their commitment to delivering genuine outcomes and emphasizing sound financial practices. My journey with Profit Forex led to a net profit of $11,500, a significant achievement given the challenges I faced. However, my optimism was short-lived when I encountered obstacles trying to withdraw funds from my trading account. Despite repeated attempts, I found myself unable to access my money, leaving me frustrated and uncertain about my financial future. Fortunately, my fortunes changed when I discovered PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY. Their reputation for recovering funds from fraudulent schemes gave me hope in reclaiming what was rightfully mine. With a mixture of desperation and cautious optimism, I reached out to them for assistance. PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY impressed me from the start with their professionalism and deep understanding of financial disputes. They took a methodical approach, using advanced techniques to track down the scammers responsible for withholding my funds. Throughout the process, their communication was clear and reassuring, providing much-needed support during a stressful period. Thanks to PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY's expertise and unwavering dedication, I finally achieved a resolution to my ordeal. They successfully traced and retrieved my funds, restoring a sense of justice and relief. Their intervention not only recovered my money but also renewed my faith in ethical financial services. Reflecting on my experience, I've learned invaluable lessons about the importance of due diligence and discernment in navigating the Forex market. While setbacks are inevitable, partnering with reputable recovery specialists like PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY can make a profound difference. Their integrity and effectiveness have left an indelible mark on me, guiding my future decisions and reinforcing the value of trustworthy partnerships in achieving financial goals. I wholeheartedly recommend PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY to anyone grappling with financial fraud or disputes. Their expertise and commitment to client satisfaction are unparalleled, offering a beacon of hope in challenging times. Thank you, PRO WIZARD GIlBERT RECOVERY, for your invaluable assistance in reclaiming what was rightfully mine. Your service not only recovered my funds but also restored my confidence in navigating the complexities of financial markets with greater caution and awareness. Email: prowizardgilbertrecovery(@)engineer.com Homepage: https://prowizardgilbertrecovery.xyz WhatsApp: +1 (516) 347‑9592
17.07.24 02:26 thompsonrickey

In the vast and often treacherous realm of online investments, I was entangled in a web of deceit that cost me nearly $45,000. It all started innocuously enough with an enticing Instagram profile promising lucrative returns through cryptocurrency investment. Initially, everything seemed promising—communications were smooth, and assurances were plentiful. However, as time passed, my optimism turned to suspicion. Withdrawal requests were met with delays and excuses. The once-responsive "investor" vanished into thin air, leaving me stranded with dwindling hopes and a sinking feeling in my gut. It became painfully clear that I had been duped by a sophisticated scheme designed to exploit trust and naivety. Desperate to recover my funds, I turned to online forums where I discovered numerous testimonials advocating for Muyern Trust Hacker. With nothing to lose, I contacted them, recounting my ordeal with a mixture of skepticism and hope. Their swift response and professional demeanor immediately reassured me that I had found a lifeline amidst the chaos. Muyern Trust Hacker wasted no time in taking action. They meticulously gathered evidence, navigated legal complexities, and deployed their expertise to expedite recovery. In what felt like a whirlwind of activity, although the passage of time was a blur amidst my anxiety, they achieved the seemingly impossible—my stolen funds were returned. The relief I felt was overwhelming. Muyern Trust Hacker not only restored my financial losses but also restored my faith in justice. Their commitment to integrity and their relentless pursuit of resolution were nothing short of remarkable. They proved themselves as recovery specialists and guardians against digital fraud, offering hope to victims like me who had been ensnared by deception. My gratitude knows no bounds for Muyern Trust Hacker. Reach them at muyerntrusted @ m a i l - m e . c o m AND Tele gram @ muyerntrusthackertech
18.07.24 20:13 austinagastya

I Testify For iBolt Cyber Hacker Alone - For Crypto Recovery Service I highly suggest iBolt Cyber Hacker to anyone in need of bitcoin recovery services. They successfully recovered my bitcoin from a fake trading scam with speed and efficiency. This crew is trustworthy, They kept me updated throughout the procedure. I thought my bitcoin was gone, I am so grateful for their help, If you find yourself in a similar circumstance, do not hesitate to reach out to iBolt Cyber Hacker for assistance. Thank you, iBOLT, for your amazing customer service! Please be cautious and contact them directly through their website. Email: S u p p o r t @ ibolt cyber hack . com Cont/Whtp + 3. .9 .3. .5..0. .9. 2. 9. .0 .3. 1 .8. Website: h t t p s : / / ibolt cyber hack . com /
27.08.24 12:50 James889900

All you need is to hire an expert to help you accomplish that. If there’s any need to spy on your partner’s phone. From my experience I lacked evidence to confront my husband on my suspicion on his infidelity, until I came across ETHICALAHCKERS which many commend him of assisting them in their spying mission. So I contacted him and he provided me with access into his phone to view all text messages, call logs, WhatsApp messages and even her location. This evidence helped me move him off my life . I recommend you consult ETHICALHACKERS009 @ gmail.com OR CALL/TEXT ‪+1(716) 318-5536 or whatsapp +14106350697 if you need access to your partner’s phone
27.08.24 13:06 James889900

All you need is to hire an expert to help you accomplish that. If there’s any need to spy on your partner’s phone. From my experience I lacked evidence to confront my husband on my suspicion on his infidelity, until I came across ETHICALAHCKERS which many commend him of assisting them in their spying mission. So I contacted him and he provided me with access into his phone to view all text messages, call logs, WhatsApp messages and even her location. This evidence helped me move him off my life . I recommend you consult ETHICALHACKERS009 @ gmail.com OR CALL/TEXT ‪+1(716) 318-5536 or whatsapp +14106350697 if you need access to your partner’s phone
02.09.24 20:24 [email protected]

If You Need Hacker To Recover Your Bitcoin Contact Paradox Recovery Wizard Paradox Recovery Wizard successfully recovered $123,000 worth of Bitcoin for my husband, which he had lost due to a security breach. The process was efficient and secure, with their expert team guiding us through each step. They were able to trace and retrieve the lost cryptocurrency, restoring our peace of mind and financial stability. Their professionalism and expertise were instrumental in recovering our assets, and we are incredibly grateful for their service. Email: support@ paradoxrecoverywizard.com Email: paradox_recovery @cyberservices.com Wep: https://paradoxrecoverywizard.com/ WhatsApp: +39 351 222 3051.
06.09.24 01:35 Celinagarcia

HOW TO RECOVER MONEY LOST IN BITCOIN/USDT TRADING OR TO CRYPTO INVESTMENT !! Hi all, friends and families. I am writing From Alberton Canada. Last year I tried to invest in cryptocurrency trading in 2023, but lost a significant amount of money to scammers. I was cheated of my money, but thank God, I was referred to Hack Recovery Wizard they are among the best bitcoin recovery specialists on the planet. they helped me get every penny I lost to the scammers back to me with their forensic techniques. and I would like to take this opportunity to advise everyone to avoid making cryptocurrency investments online. If you have already lost money on forex, cryptocurrency or Ponzi schemes, please contact [email protected] or WhatsApp: +1 (757) 237–1724 at once they can help you get back the crypto you lost to scammers. BEST WISHES. Celina Garcia.
06.09.24 01:44 Celinagarcia

HOW TO RECOVER MONEY LOST IN BITCOIN/USDT TRADING OR TO CRYPTO INVESTMENT !! Hi all, friends and families. I am writing From Alberton Canada. Last year I tried to invest in cryptocurrency trading in 2023, but lost a significant amount of money to scammers. I was cheated of my money, but thank God, I was referred to Hack Recovery Wizard they are among the best bitcoin recovery specialists on the planet. they helped me get every penny I lost to the scammers back to me with their forensic techniques. and I would like to take this opportunity to advise everyone to avoid making cryptocurrency investments online. If you have already lost money on forex, cryptocurrency or Ponzi schemes, please contact [email protected] or WhatsApp: +1 (757) 237–1724 at once they can help you get back the crypto you lost to scammers. BEST WISHES. Celina Garcia.
16.09.24 00:10 marcusaustin

Bitcoin Recovery Services: Restoring Lost Cryptocurrency If you've lost access to your cryptocurrency and unable to make a withdrawal, I highly recommend iBolt Cyber Hacker Bitcoin Recovery Services. Their team is skilled, professional, and efficient in recovering lost Bitcoin. They provide clear communication, maintain high security standards, and work quickly to resolve issues. Facing the stress of lost cryptocurrency, iBolt Cyber Hacker is a trusted service that will help you regain access to your funds securely and reliably. Highly recommended! Email: S u p p o r t @ ibolt cyber hack . com Cont/Whtp + 3. .9 .3. .5..0. .9. 2. 9. .0 .3. 1 .8. Website: h t t p s : / / ibolt cyber hack . com /
16.09.24 00:11 marcusaustin

Bitcoin Recovery Services: Restoring Lost Cryptocurrency If you've lost access to your cryptocurrency and unable to make a withdrawal, I highly recommend iBolt Cyber Hacker Bitcoin Recovery Services. Their team is skilled, professional, and efficient in recovering lost Bitcoin. They provide clear communication, maintain high security standards, and work quickly to resolve issues. Facing the stress of lost cryptocurrency, iBolt Cyber Hacker is a trusted service that will help you regain access to your funds securely and reliably. Highly recommended! Email: S u p p o r t @ ibolt cyber hack . com Cont/Whtp + 3. .9 .3. .5..0. .9. 2. 9. .0 .3. 1 .8. Website: h t t p s : / / ibolt cyber hack . com /
23.09.24 18:56 matthewshimself

At first, I was admittedly skeptical about Worldcoin (ref: https://worldcoin.org/blog/worldcoin/this-is-worldcoin-video-explainer-series), particularly around the use of biometric data and the WLD token as a reward mechanism for it. However, after following the project closer, I’ve come to appreciate the broader vision and see the value in the underlying tech behind it. The concept of Proof of Personhood (ref: https://worldcoin.org/blog/worldcoin/proof-of-personhood-what-it-is-why-its-needed) has definitely caught my attention, and does seem like a crucial step towards tackling growing issues like bots, deepfakes, and identity fraud. Sam Altman’s vision is nothing short of ambitious, but I do think he & Alex Blania have the chops to realize it as mainstay in the global economy.
01.10.24 14:54 Sinewclaudia

I lost about $876k few months ago trading on a fake binary option investment websites. I didn't knew they were fake until I tried to withdraw. Immediately, I realized these guys were fake. I contacted Sinew Claudia world recovery, my friend who has such experience before and was able to recover them, recommended me to contact them. I'm a living testimony of a successful recovery now. You can contact the legitimate recovery company below for help and assistance. [email protected] [email protected] WhatsApp: 6262645164
02.10.24 22:27 Emily Hunter

Can those who have fallen victim to fraud get their money back? Yes, you might be able to get back what was taken from you if you fell prey to a fraud from an unregulated investing platform or any other scam, but only if you report it to the relevant authorities. With the right plan and supporting documentation, you can get back what you've lost. Most likely, the individuals in control of these unregulated platforms would attempt to convince you that what happened to your money was a sad accident when, in fact, it was a highly skilled heist. You should be aware that there are resources out there to help you if you or someone you know has experienced one of these circumstances. Do a search using (deftrecoup (.) c o m). Do not let the perpetrators of this hoaxes get away with ruining you mentally and financially.
18.10.24 09:34 freidatollerud

The growth of WIN44 in Brazil is very interesting! If you're looking for more options for online betting and casino games, I recommend checking out Casinos in Brazil. It's a reliable platform that offers a wide variety of games and provides a safe and enjoyable experience for users. It's worth checking out! https://win44.vip
31.10.24 00:13 ytre89

Can those who have fallen victim to fraud get their money back? Yes, you might be able to get back what was taken from you if you fell prey to a fraud from an unregulated investing platform or any other scam, but only if you report it to the relevant authorities. With the right plan and supporting documentation, you can get back what you've lost. Most likely, the individuals in control of these unregulated platforms would attempt to convince you that what happened to your money was a sad accident when, in fact, it was a highly skilled heist. You should be aware that there are resources out there to help you if you or someone you know has experienced one of these circumstances. Do a search using (deftrecoup (.) c o m). Do not let the perpetrators of this hoaxes get away with ruining you mentally and financially.
02.11.24 14:44 diannamendoza732

In the world of Bitcoin recovery, Pro Wizard Gilbert truly represents the gold standard. My experience with Gilbert revealed just how exceptional his methods are and why he stands out as the premier authority in this critical field. When I first encountered the complexities of Bitcoin recovery, I was daunted by the technical challenges and potential risks. Gilbert’s approach immediately distinguished itself through its precision and effectiveness. His methods are meticulously designed, combining cutting-edge techniques with an in-depth understanding of the Bitcoin ecosystem. He tackled the recovery process with a level of expertise and thoroughness that was both impressive and reassuring. What sets Gilbert’s methods apart is not just their technical sophistication but also their strategic depth. He conducts a comprehensive analysis of each case, tailoring his approach to address the unique aspects of the situation. This personalized strategy ensures that every recovery effort is optimized for success. Gilbert’s transparent communication throughout the process was invaluable, providing clarity and confidence during each stage of the recovery. The results I achieved with Pro Wizard Gilbert’s methods were remarkable. His gold standard approach not only recovered my Bitcoin but did so with an efficiency and reliability that exceeded my expectations. His deep knowledge, innovative techniques, and unwavering commitment make him the definitive expert in Bitcoin recovery. For anyone seeking a benchmark in Bitcoin recovery solutions, Pro Wizard Gilbert’s methods are the epitome of excellence. His ability to blend technical prowess with strategic insight truly sets him apart in the industry. Call: for help. You may get in touch with them at ; Email: (prowizardgilbertrecovery(@)engineer.com) Telegram ; https://t.me/Pro_Wizard_Gilbert_Recovery Homepage ; https://prowizardgilbertrecovery.info
12.11.24 00:50 TERESA

Brigadia Tech Remikeable recovery has exhibited unparalleled strength in the realm of recovery. They stand out as the premier team to collaborate with if you encounter withdrawal difficulties from the platform where you’ve invested. Recently, I engaged with them to recover over a million dollars trapped in an investment platform I’d been involved with for months. I furnished their team with every detail of the investment, including accounts, names, and wallet addresses to which I sent the funds. This decision proved to be the best I’ve made, especially after realizing the company had scammed me. Brigadia Tech Remikeable recovery ensures exemplary service delivery and ensures the perpetrators face justice. They employ advanced techniques to ensure you regain access to your funds. Understandably, many individuals who have fallen victim to investment scams may still regret engaging in online services again due to the trauma of being scammed. However, I implore you to take action. Seek assistance from Brigadia Tech Remikeable Recovery Experts today and witness their remarkable capabilities. I am grateful that I resisted their enticements, and despite the time it took me to discover brigadia tech recovery, they ultimately fulfilled my primary objective. Without Brigadia Tech Recovery's intervention, I would have remained despondent and perplexed indefinitely. Also if you are looking for the best and safest investment company you can contact them, for wallet recovery, difficult withdrawal, etc. I am so happy to keep getting my daily BTC, all I do is keep 0.1 BTC in my mining wallet with the help of Brigadia Tech. They connected me to his mining stream and I earn 0.4 btc per day with this, my daily profit. I can get myself a new house and car. I can’t believe I have thousands of dollars in my bank account. Now you can get in. ([email protected]) Telegram +1 (323)-9 1 0 -1 6 0 5
17.11.24 09:31 Vivianlocke223

Have You Fallen Victim to Cryptocurrency Fraud? If your Bitcoin or other cryptocurrencies were stolen due to scams or fraudulent activities, Free Crypto Recovery Fixed is here to help you recover what’s rightfully yours. As a leading recovery service, we specialize in restoring lost cryptocurrency and assisting victims of fraud — no matter how long ago the incident occurred. Our experienced team leverages cutting-edge tools and expertise to trace and recover stolen assets, ensuring swift and secure results. Don’t let scammers jeopardize your financial security. With Free Crypto Recovery Fixed, you’re putting your trust in a reliable and dedicated team that prioritizes recovering your assets and ensuring their future protection. Take the First Step Toward Recovery Today! 📞 Text/Call: +1 407 212 7493 ✉️ Email: [email protected] 🌐 Website: https://freecryptorecovery.net Let us help you regain control of your financial future — swiftly and securely.
19.11.24 03:06 [email protected]

My entire existence fell apart when a malevolent hacker recently gained access to my online accounts. I felt violated and extremely uneasy after discovering that the digital platforms I depended on for communication, employment, and finances had been compromised. Regaining control and restoring my digital security was an overwhelming task in the immediate aftermath. To help me navigate the difficult process of recovering my accounts and getting my peace of mind back, TRUST GEEKS HACK EXPERT came into my life as a ray of hope. They immediately put their highly skilled professionals to work, thoroughly examining the vulnerability and methodically preventing unwanted access. They guided me through each stage soothingly, explaining what was occurring and why, so I never felt lost or alone. They communicated with service providers to restore my legitimate access while skillfully navigating the complex labyrinth of account recovery procedures. My digital footprint was cleaned and strengthened against future attacks thanks to their equally amazing ability to remove any remaining evidence of the hacker's presence. However, TRUST GEEKS HACK EXPERT actual worth went beyond its technical aspects. They offered constant emotional support during the ordeal, understanding my fragility and sense of violation. My tense nerves were calmed by their comforting presence and kind comments, which served as a reminder that I wasn't alone in this struggle. With their help, I was able to reestablish my sense of security and control, which enabled me to return my attention to the significant areas of my life that had been upended. Ultimately, TRUST GEEKS HACK EXPERT all-encompassing strategy not only recovered my online accounts but also my general peace of mind, which is a priceless result for which I am incredibly appreciative of their knowledge and kindness. Make the approach and send a message to TRUST GEEKS HACK EXPERT Via Web site <> www://trustgeekshackexpert.com/-- E>mail: Trustgeekshackexpert(At)fastservice..com -- TeleGram,<> Trustgeekshackexpert
19.11.24 03:07 [email protected]

My entire existence fell apart when a malevolent hacker recently gained access to my online accounts. I felt violated and extremely uneasy after discovering that the digital platforms I depended on for communication, employment, and finances had been compromised. Regaining control and restoring my digital security was an overwhelming task in the immediate aftermath. To help me navigate the difficult process of recovering my accounts and getting my peace of mind back, TRUST GEEKS HACK EXPERT came into my life as a ray of hope. They immediately put their highly skilled professionals to work, thoroughly examining the vulnerability and methodically preventing unwanted access. They guided me through each stage soothingly, explaining what was occurring and why, so I never felt lost or alone. They communicated with service providers to restore my legitimate access while skillfully navigating the complex labyrinth of account recovery procedures. My digital footprint was cleaned and strengthened against future attacks thanks to their equally amazing ability to remove any remaining evidence of the hacker's presence. However, TRUST GEEKS HACK EXPERT actual worth went beyond its technical aspects. They offered constant emotional support during the ordeal, understanding my fragility and sense of violation. My tense nerves were calmed by their comforting presence and kind comments, which served as a reminder that I wasn't alone in this struggle. With their help, I was able to reestablish my sense of security and control, which enabled me to return my attention to the significant areas of my life that had been upended. Ultimately, TRUST GEEKS HACK EXPERT all-encompassing strategy not only recovered my online accounts but also my general peace of mind, which is a priceless result for which I am incredibly appreciative of their knowledge and kindness. Make the approach and send a message to TRUST GEEKS HACK EXPERT Via Web site <> www://trustgeekshackexpert.com/-- E>mail: Trustgeekshackexpert(At)fastservice..com -- TeleGram,<> Trustgeekshackexpert
21.11.24 04:14 ronaldandre617

Being a parent is great until your toddler figures out how to use your devices. One afternoon, I left my phone unattended for just a few minutes rookie mistake of the century. I thought I’d take a quick break, but little did I know that my curious little genius was about to embark on a digital adventure. By the time I came back, I was greeted by two shocking revelations: my toddler had somehow managed to buy a $5 dinosaur toy online and, even more alarmingly, had locked me out of my cryptocurrency wallet holding a hefty $75,000. Yes, you heard that right a dinosaur toy was the least of my worries! At first, I laughed it off. I mean, what toddler doesn’t have a penchant for expensive toys? But then reality set in. I stared at my phone in disbelief, desperately trying to guess whatever random string of gibberish my toddler had typed as a new password. Was it “dinosaur”? Or perhaps “sippy cup”? I felt like I was in a bizarre game of Password Gone Wrong. Every attempt led to failure, and soon the laughter faded, replaced by sheer panic. I was in way over my head, and my heart raced as the countdown of time ticked away. That’s when I decided to take action and turned to Digital Tech Guard Recovery, hoping they could solve the mystery that was my toddler’s handiwork. I explained my predicament, half-expecting them to chuckle at my misfortune, but they were incredibly professional and empathetic. Their confidence put me at ease, and I knew I was in good hands. Contact With WhatsApp: +1 (443) 859 - 2886 Email digital tech guard . com Telegram: digital tech guard recovery . com website link :: https : // digital tech guard . com Their team took on the challenge like pros, employing their advanced techniques to unlock my wallet with a level of skill I can only describe as magical. As I paced around, anxiously waiting for updates, I imagined my toddler inadvertently locking away my life savings forever. But lo and behold, it didn’t take long for Digital Tech Guard Recovery to work their magic. Not only did they recover the $75,000, but they also gave me invaluable tips on securing my wallet better like not leaving it accessible to tiny fingers! Who knew parenting could lead to such dramatic situations? Crisis averted, and I learned my lesson: always keep my devices out of reach of little explorers. If you ever find yourself in a similar predicament whether it’s tech-savvy toddlers or other digital disasters don’t hesitate to reach out to Digital Tech Guard Recovery. They saved my funds and my sanity, proving that no challenge is too great, even when it involves a toddler’s mischievous fingers!
21.11.24 08:02 Emily Hunter

If I hadn't found a review online and filed a complaint via email to support@deftrecoup. com , the people behind this unregulated scheme would have gotten away with leaving me in financial ruins. It was truly the most difficult period of my life.
22.11.24 04:41 [email protected]

I never could have imagined the nightmare of losing access to my digital wallet. All of my cryptocurrency holdings were abruptly imprisoned, inaccessible, and appeared to be lost forever following a catastrophic hardware breakdown. Years of meticulous investment and careful saving were reduced to nothing more than strings of code that I could no longer control, and I could feel the dread and sorrow that swept through me at that very instant. Thankfully, during my worst moment, I came into (TRUST GEEKS HACK EXPERT), a professional service devoted to recovering lost or inaccessible digital data. With optimism, I went out to their team of skilled technologists, laying bare the full nature of my issue. What followed was a laborious, multi-step process that required an almost surgical level of digital forensics and Bitcoin skill. In order to create a thorough profile of my wallet's contents and activities, the (TRUST GEEKS HACK EXPERT) team first thoroughly examined the transaction history and metadata connected to it. Next, they implemented a series of advanced recovery techniques, using cutting-edge software tools to bypass the access barriers that had left me locked out. The entire process was shrouded in secrecy and discretion, with the (TRUST GEEKS HACK EXPERT) team working tirelessly to protect the confidentiality of my sensitive financial information. After what felt like an eternity of nervous anticipation, the day finally arrived when I received the triumphant notification – my wallet had been successfully restored, and all of my precious digital assets had been returned to my control. The sense of relief was indescribable, as I could finally breathe easy knowing that the fruits of my financial discipline had been safeguarded. While the experience of losing access to my wallet was undoubtedly traumatic, (TRUST GEEKS HACK EXPERT) intervention allowed me to emerge from the ordeal with my cryptocurrency holdings intact, and a renewed appreciation for the importance of proactive digital asset management. You can contact Them through EMAIL: [email protected] - TELEGRAM: TRUSTGEEKSHACKEXPERT
22.11.24 15:26 cliftonhandyman

Your Lost Bitcoins Are Not Gone Forever? Enquire From iBolt Cyber Hacker iBolt Cyber Hacker is a cybersecurity service that specializes in Bitcoin and cryptocurrency recovery. Even if your Bitcoin is locked away in a scammer inaccessible wallet, they have the tools and expertise to retrieve it. Many people, including seasoned cryptocurrency investors, face the daunting possibility of never seeing their lost funds again. iBolt cyber hacker service is a potential lifeline in these situations. I understand the concerns many people might have about trusting a third-party service to recover their Bitcoin. iBolt Cyber Hacker takes security seriously, implementing encryption and stringent privacy protocols. I was assured that no sensitive data would be compromised during the recovery process. Furthermore, their reputation in the cryptocurrency community, based on positive feedback from previous clients, gave me confidence that I was in good hands. Whtp +39, 351..105, 3619 Em.ail: ibolt @ cyber- wizard. co m
22.11.24 23:43 teresaborja

all thanks to Tech Cyber Force Recovery expert assistance. As a novice in cryptocurrency, I had been carefully accumulating a modest amount of Bitcoin, meticulously safeguarding my digital wallet and private keys. However, as the adage goes, the best-laid plans can often go awry, and that's precisely what happened to me. Due to a series of technical mishaps and human errors, I found myself locked out of my Bitcoin wallet, unable to access the fruits of my digital labors. Panic set in as I frantically searched for a solution, scouring the internet for any glimmer of hope. That's when I stumbled upon the Tech Cyber Force Recovery team, a group of seasoned cryptocurrency specialists who had built a reputation for their ability to recover lost or inaccessible digital assets. Skeptical at first, I reached out, desperate for a miracle. To my utter amazement, the Tech Cyber Force Recovery experts quickly assessed my situation and devised a meticulous plan of attack. Through their deep technical knowledge, unwavering determination, and a keen eye for detail, they were able to navigate the complex labyrinth of blockchain technology, ultimately recovering my entire Bitcoin portfolio. What had once seemed like a hopeless endeavor was now a reality, and I found myself once again in possession of my digital wealth, all thanks to the incredible efforts of the Tech Cyber Force Recovery team. This experience has not only restored my faith in the cryptocurrency ecosystem. Still, it has also instilled in me a profound appreciation for the critical role that expert recovery services can play in safeguarding one's digital assets. ENAIL < Tech cybers force recovery @ cyber services. com > WEBSITE < ht tps : // tech cyber force recovery. info > TEXT < +1. 561. 726. 3697 >
24.11.24 02:21 [email protected]

I never could have imagined the nightmare of losing access to my digital wallet. All of my cryptocurrency holdings were abruptly imprisoned, inaccessible, and appeared to be lost forever following a catastrophic hardware breakdown. Years of meticulous investment and careful saving were reduced to nothing more than strings of code that I could no longer control, and I could feel the dread and sorrow that swept through me at that very instant. Thankfully, during my worst moment, I came into (TRUST GEEKS HACK EXPERT), a professional service devoted to recovering lost or inaccessible digital data. With optimism, I went out to their team of skilled technologists, laying bare the full nature of my issue. What followed was a laborious, multi-step process that required an almost surgical level of digital forensics and Bitcoin skill. In order to create a thorough profile of my wallet's contents and activities, the (TRUST GEEKS HACK EXPERT) team first thoroughly examined the transaction history and metadata connected to it. Next, they implemented a series of advanced recovery techniques, using cutting-edge software tools to bypass the access barriers that had left me locked out. The entire process was shrouded in secrecy and discretion, with the (TRUST GEEKS HACK EXPERT) team working tirelessly to protect the confidentiality of my sensitive financial information. After what felt like an eternity of nervous anticipation, the day finally arrived when I received the triumphant notification – my wallet had been successfully restored, and all of my precious digital assets had been returned to my control. The sense of relief was indescribable, as I could finally breathe easy knowing that the fruits of my financial discipline had been safeguarded. While the experience of losing access to my wallet was undoubtedly traumatic, (TRUST GEEKS HACK EXPERT) intervention allowed me to emerge from the ordeal with my cryptocurrency holdings intact, and a renewed appreciation for the importance of proactive digital asset management. You can contact Them through EMAIL: [email protected] - TELEGRAM: TRUSTGEEKSHACKEXPERT
25.11.24 02:19 briankennedy

COMMENT ON I NEED A HACKER TO RECOVER MONEY FROM BINARY TRADING. HIRE FASTFUND RECOVERY
25.11.24 02:20 briankennedy

After countless hours of research and desperate attempts to find a solution, I stumbled upon FASTFUND RECOVERY. It was like finding an oasis in the middle of a desert. Their website promised to help victims of scams reclaim what was rightfully theirs, and I instantly knew I had to give them a shot. Before diving headfirst into the recovery process, I wanted to make sure that FASTFUND RECOVERY was the real deal. So, I did my due diligence and looked into their expertise and reputation. To my relief, I found that they had an impeccable track record, successfully assisting countless individuals in recovering their lost funds. Their team consisted of experts in cybersecurity and financial fraud, armed with the knowledge and tools needed to tackle even the most intricate scams. With their reputation preceding them, I felt a renewed sense of hope. FASTFUND RECOVERY successfully came to my aid and got back the amount I lost to these scammers and for this, I am sending this article for clarification. The info of FASTFUND RECOVERY is email: Fastfundrecovery8 (@)Gmail (.) com. Web fastfundrecovery(.)com. (W/A 1 807/500/7554)
26.11.24 21:59 [email protected]

In a world brimming with enticing investment opportunities, it is crucial to tread carefully. The rise of digital currencies has attracted many eager investors, but along with this excitement lurk deceitful characters ready to exploit the unsuspecting. I learned this lesson the hard way, and I want to share my story in the hopes that it can save someone from making the same mistakes I did. It all began innocently enough when I came across an engaging individual on Facebook. Lured in by promises of high returns in the cryptocurrency market, I felt the electric thrill of potential wealth coursing through me. Initial investments returned some profits, and that exhilarating taste of success fueled my ambition. Encouraged by a meager withdrawal, I decided to commit even more funds. This was the moment I let my guard down, blinded by greed. As time went on, the red flags started to multiply. The moment I tried to withdraw my earnings, a cascade of unreasonable fees appeared like a thick mist, obscuring the truth. “Just a little more,” they said, “Just until the next phase.” I watched my hard-earned money slip through my fingers as I scraped together every last cent to pay those relentless fees. My trust had become my downfall. In the end, I lost not just a significant amount of cash, but my peace of mind about $1.1 million vanished into the abyss of false promises and hollow guarantees. But despair birthed hope. After a cascade of letdowns, I enlisted the help of KAY-NINE CYBER SERVICES, a team that specializes in reclaiming lost funds from scams. Amazingly, they worked tirelessly to piece together what had been ripped away, providing me with honest guidance when I felt utterly defeated. Their expertise in navigating the treacherous waters of crypto recovery was a lifeline I desperately needed. To anyone reading this, please let my story serve as a warning. High returns often come wrapped in the guise of deception. Protect your investments, scrutinize every opportunity, and trust your instincts. Remember, the allure of quick riches can lead you straight to heartbreak, but with cautious determination and support, it is possible to begin healing from such devastating loss. Stay informed, stay vigilant, and may you choose your investment paths wisely. Email: kaynine @ cyberservices . com
26.11.24 23:12 rickrobinson8

FAST SOLUTION FOR CYPTOCURRENCY RECOVERY SPARTAN TECH GROUP RETRIEVAL
26.11.24 23:12 rickrobinson8

Although recovering from the terrible effects of investment fraud can seem like an impossible task, it is possible to regain financial stability and go on with the correct assistance and tools. In my own experience with Wizard Web Recovery, a specialized company that assisted me in navigating the difficulties of recouping my losses following my fall prey to a sophisticated online fraud, that was undoubtedly the case. My life money had disappeared in an instant, leaving me in a state of shock when I first contacted Spartan Tech Group Retrieval through this Email: spartantechretrieval (@) g r o u p m a i l .c o m The compassionate and knowledgeable team there quickly put my mind at ease, outlining a clear and comprehensive plan of action. They painstakingly examined every aspect of my case, using their broad business contacts and knowledge to track the movement of my pilfered money. They empowered me to make knowledgeable decisions regarding the rehabilitation process by keeping me updated and involved at every stage. But what I valued most was their unrelenting commitment and perseverance; they persisted in trying every option until a sizable amount of my lost money had been successfully restored. It was a long and arduous journey, filled with ups and downs, but having Spartan Tech Group Retrieval in my corner made all the difference. Thanks to their tireless efforts, I was eventually able to rebuild my financial foundation and reclaim a sense of security and control over my life. While the emotional scars of investment fraud may never fully heal, working with this remarkable organization played a crucial role in my ability to move forward and recover. For proper talks, contact on WhatsApp:+1 (971) 4 8 7 - 3 5 3 8 and Telegram:+1 (581) 2 8 6 - 8 0 9 2 Thank you for your time reading as it will be of help.
27.11.24 00:39 [email protected]

Although recovering lost or inaccessible Bitcoin can be difficult and unpleasant, it is frequently possible to get back access to one's digital assets with the correct help and direction. Regarding the subject at hand, the examination of Trust Geeks Hack Expert Website www://trustgeekshackexpert.com/ assistance after an error emphasizes how important specialized services may be in negotiating the difficulties of Bitcoin recovery. These providers possess the technical expertise and resources necessary to assess the situation, identify the root cause of the issue, and devise a tailored solution to retrieve the lost funds. By delving deeper into the specifics of Trust Geeks Hack Expert approach, we can gain valuable insights into the nuances of this process. Perhaps they leveraged advanced blockchain analysis tools to trace the transaction history and pinpoint the location of the missing Bitcoins. Or they may have collaborated with the relevant parties, such as exchanges or wallet providers, to facilitate the recovery process. Equally important is the level of personalized support and communication that Trust Geeks Hack Expert likely provided, guiding the affected individual through each step of the recovery effort and offering reassurance during what can be an anxious and uncertain time. The success of their efforts, as evidenced by the positive outcome, underscores the importance of seeking out reputable and experienced service providers when faced with a Bitcoin-related mishap, as they possess the specialized knowledge and resources to navigate these challenges and restore access to one's digital assets. Email.. [email protected]
27.11.24 09:10 Michal Novotny

The biggest issue with cryptocurrency is that it is unregulated, wh ich is why different people can come up with different fake stories all the time, and it is unfortunate that platforms like Facebook and others only care about the money they make from them through ads. I saw an ad on Facebook for Cointiger and fell into the scam, losing over $30,000. I reported it to Facebook, but they did nothing until I discovered deftrecoup . c o m from a crypto community; they retrieved approximately 95% of the total amount I lost.